Exercice sur les opérateurs

taib

Bonjour tout le monde,
Je cherche à résoudre l'exercice ci-dessous.

Soient $E$, $F$ et $G$ trois espaces vectoriels normés. Soient $T \in L(E,F)$ (l'ensemble des opérateurs linéaires) et $S\in \mathcal{L}(F,G)$ (l'ensemble des opérateurs linéaires continus). On suppose que $ST$ est continu et $S$ est injectif.
1- On suppose que les espaces $E$ et $F$ sont complets. Montrer que $T$ est continu.
2- On suppose que $F$ et $G$ sont complets et que $S(F)$ (l'image de $F$ par l'application $S$) est un fermé de $G$. Montrer que $T$ est continu.

Merci de me donner une indication SVP.

raoul.S

Pour la 1) tu peux utiliser le théorème du graphe fermé ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_du_graphe_fermé ).

raoul.S

Pour la 2) tu peux utiliser le théorème de l'isomorphisme de Banach ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Banach-Schauder#Théorème_de_l'isomorphisme_de_Banach ) qui est conséquence du théorème de l'application ouverte.

Riemann_lapins_cretins

E a vraiment besoin d'être complet pour la 1 ? Un coup d'isomorphisme de Banach sur l'image de S règle la question j'ai l'impression.

raoul.S

RLC je ne sais pas si j'ai bien compris mais tu supposes que $S(F)$ est complet dans ton argument. Or ce n'est pas forcément le cas.

Riemann_lapins_cretins

Après vérification je vois le problème. J'étais convaincu que l'image d'un espace complet par une fonction continue était complète.