topologie dure

Bonjour

Est ce que tout compact d'un espace vectoriel normé de dimension non dénombrable est inclus dans un hyperplan de cet espace ?

Réponses

  • Bonjour
    Je pense que non:
    Si on rajoute un point en dehors de l'hyperplan contenant le compact à l'ensemble compact de départ il est toujours compact (en principe...) mais n'est plus contenu dans aucun hyperplan enfin je crois ou alors il se passe des phénomenes que je n'ai pas compris...
  • Bonjour
    Je ne sais pas si le résultat est vrai ou faux, mais je pense que ta démo ne suffit pas Gecko... Par exemple {0} est un compact de E. Si je lui adjoint un autre point a, on aura toujours un compact (là d'accord...) mais {0,a} est bien inclus dans un hyperplan (si E est de dimension indénombrable)...
    Le problème est que K peut être contenu dans un hyperplan H sans que K engendre H...
  • Je pense qu'on peut trouver aisément des contre exemples dans les espaces simples.
    Par exemple, dans $l^1(\N)$, l'ensemble des suites telles que $|u_n|\leq 2^{-n}$ est compact.
    Et il n'y a pas d'hyperplan qui le contienne (je ne vois pas de façon élégante de le montrer, mais si on prend bêtement une suite $(v_n)$ de $l^{\infty}$, c'est évident qu'on peut trouver $(u_n)$ dans ce compact tel que $\neq 0$).
  • L'ensemble des suites convergeant vers $0$ me semble être un sous-espace strict de $l^1$ corentin...
  • Par contre si on prend $[-1,1]^{\N} \subset l^{[\infty}$ muni de la norme sup, ça convient, où je me suis troué (où j'ai oublié une contrainte ?).
  • Mouais, en enlevant les accents sur les "où" on comprend mieux ce que je veux dire !
  • @Probaloser: je ne comprends pas du tout ta remarque. Tu pourrais reformuler stp?
  • Ton ensemble est inclus dans l'espace des suites tendant vers $0$ lui même inclus dans un hyperplan.

    AD : merci pour la correction !
  • Idée "idiote" : si on part d'un compact
    et que l'on prend le sous-espace vectoriel engendré...

    Il suffit donc de trouver un ev normé et un compact de celui-ci
    d'un ev normé qui engendre un sous-espace vectoriel de dimension
    indénombrable.
    Le cube de Hilbert est effectivement un excellent candidat...
    Je doute que l'on puisse trouver plus simple.
  • Je comprends toujours pas.
    Dans $l^1$, toutes les suites tendent vers 0 puisqu'elles sont sommables.
  • Une autre remarque pour corentin: pilz n'a pas demandé que l'hyperplan soit fermé (sinon la suite $\frac{x_n}{n||x_n||}$, où $\{x_n\}$ est dense dans ton ev, fournit un contre-exemple).
    Du coup, un hyperplan ne correspond pas nécessairement au noyau d'une forme linéaire "venant" de $l^{\infty}$: ceux-là sont fermés...
    (en d'autres termes: le dual algébrique est beaucoup plus gros que le dual topologique, et les hyperplans correspondent aux éléments du dual algébrique, les hyperplans fermés aux éléments du dual topologique).

    Pour Probaloser: euh, ça m'étonnait que tu aies la tête aux maths en ce moment ;-) et, effectivement, il y a comme une boulette dans ton truc.
    En effet, $[-1,1]^{\N}$, muni de la distance du sup, n'est méchamment pas compact (ben oui, il n'est pas séparable, et tout compact métrisable est séparable donc y aurait un pb...)

    Pour le voir directement: que penses-tu de la suite $u_n=(0,0,0,...,1,0,0...)$?
    C'est pas gagné pour en extraire une sous-suite convergente!

    Pour en revenir à la question de départ: si $Vect(K)$ n'est pas l'espace total, alors il y a un hyperplan qui contient $K$ (avec l'axiome du choix), et réciproquement.

    Du coup, la question devient: existe-t-il un compact qui engendre un certain evn de dimension non dénombrable?
    La réponse est "oui" en général: pour tout métrique complet $X$ on peut associer un espace de Banach $F(X)$ de façon à ce que:
    $X$ se plonge isométriquement dans $F(X)$, un certain $x_0 \in X$ s'envoie sur $0$, et les éléments $\neq x_0$ de $x$ ont des images linéairement indépendantes.
    De plus, $F(X)$ est séparable si $X$ l'est.
    Si $X$ est compact métrique, $F(X)$ fournit clairement un contre-exemple à la question de départ (considérer l'espace engendré par $X$ ), et cet exemple est-en pus séparable.

    Je ne sais pas ce qui se passe si on impose à notre evn d'être en fait un Banach, et j'ai déjà passé trop de temps à taper ça... Je vais y réfléchir si j'ai le temps, mais c'est pas gagné.
  • Et probaloser veut sûrement dire "l'ensemble des suites telles que $2^n u_n$ est borné, lui-même contenu dans un hyperplan"... Enfin, je pense qu'il veut dire ça (et je l'approuve).
  • Pour le coup des formes linéaires pas continues, je suis tout à fait d'accord, ça fait d'ailleurs beaucoup de fois que je fais comme si toutes les formes linéaires étaient continues... une mauvais manie à perdre.
    Par contre j'ai l'impression que mon compact engendre l'espace $l^1$, non?
  • Corentin, ton compact engendre le sous-espace
    des suites dominées par la suite géométrique
    $(2^{-n})_{n \in \mathbb{N}}$, rien de plus.
  • Topoman : Ouais effectivement boulette, j'aurais du rester dans mes couches !
  • @ DSp: ah ouais?
    Bon ben alors je suppose que la suite qui vaut 1 au nème terme et 0 sur les autres n'est pas dans l'espace $vect(0,...0,\frac{1}{2^n},0,...)$.
  • il y aune question que je me pose:
    est ce qu'un ev a dimension non denombrable a une base??
    ensuite modulo l'exitence d'une base $$ (e_i)_{i \in I} $$ et avec le theoreme de Tychonoff $$ K'=\prod_{i \in I} [0,1] $$ est compact et donc le compact
    $$K=UNION y=\sum_{i \in I} t_i *e_i t.q (t_i) \in K'$$ ne peut etre plongé dans un hyperplan...enfin peut etre

    PS: si un modérateur pouvait modifier le message de facon à ce que l'union sois LATEXé ca serait bien merci!et aussi les accolades... comme je verrai le code latex et je n'oublirai jamais comment faire!!!
  • Gecko :
    si I est infini indénombrable, la topologie de ton joli
    compact est splendide mais n'est absolument pas métrisable
    (hint : cherche une base dénombrable de voisinages...) .
  • ... base dénombrable de voisinages ... d'un point fixé, bien sûr.
  • Bonsoir,

    Pour répondre à la question dans le cas Banach.
    Si l'espace n'est pas séparable alors tout compact est inclus dans un
    hyperplan fermé (car l'espace engendré par un compact est séparable)
    Si l'espace est séparable, il y a toujours un hyperplan (non fermé) qui
    contient le compact. Rapidement, on peut supposer le compact K convexe
    symétrique en 0 (l'enveloppe convexe fermée d'un compact est compacte), si le résultat n'était pas vrai alors comme dit plus haut la réunion des
    nK serait tout l'espace, ce qui est faux par le théorème de Baire...

    Eric
  • Il y a une question que je me pose :
    Est-ce qu'un ev à dimension non dénombrable a une base ??
    Ensuite modulo l'existence d'une base $ (e_i)_{i \in I} $
    et avec le théorème de Tychonoff $ K'=\prod\limits_{i \in I} [0,1] $ est compact et donc le compact $$K= \bigcup \{ y= \sum_{i \in I} t_i e_i \mid (t_i) \in K' \}$$ ne peut être plongé dans un hyperplan... Enfin peut-être.

    PS: si un modérateur pouvait modifier le message de façon à ce que l'union sois LATEXée ca serait bien merci ! Et aussi les accolades... Comme je verrai le code latex et je n'oublierai jamais comment faire !!!
  • Pour répondre à :

    "Il y a une question que je me pose :
    Est-ce qu'un ev à dimension non dénombrable a une base ?? "

    En fait un espace vectoriel admet toujours des bases, quel que soit sa dimension. Par contre pour un espace de dimension indénombrable, ca résulte de l'axiome du choix, donc c'est non constructif et pas tres intuitif...
  • Via l'axiome du choix, ou plutot le lemme de Zorm qui est un equivalent, tu a l'assurance qu'il existe une base, ceci dans n'importe quel espace vectoriel.
  • OK dSP... J'avais oublie normé...
    Dans ce cas je pose une autre question : un espace vectoriel à dimension non dénombrable peut-il être maîtrisable ?

    PS : Merci pour la correction maintenant je saurai toujours écrire ce code !

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