Une suite récurrente
Réponses
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$u_{n+1}\leq u_n$ si et seulement si $u_n/k + 1/u_n\leq u_n$ soit $u_n^2(1-\frac{1}{k})\geq 1$
Il est évident que si $k<1$, pour tout $n$, on aura $u_{n+1}\geq u_n$. Donc supposons $k>1$.
la condition est donc équivalente à : pour tout $n$, $u_n\sqrt{1-\frac{1}{k}}\geq1$.
Maintenant, s'il existe un $n$ tel que $u_n\sqrt{1-\frac{1}{k}}\geq1$, alors :
$u_{n+1}\sqrt{1-\frac{1}{k}}\geq \frac{1}{k} + \frac{1}{u_n}\sqrt{1-\frac{1}{k}}$.
Par une étude des variations de la fonction de récurrence, on obtient l'inégalité suivante :
pour tout $n>1$, $u_n\geq\frac{2}{\sqrt{k}}$.
Donc, $u_{n+1}\sqrt{1-\frac{1}{k}}\geq \frac{1}{k} + \frac{k}{2}\sqrt{1-\frac{1}{k}}= \frac{1}{k}+\frac{1}{2}\sqrt{k-1}$
Ayons le courage de montrer que cette valeur ne descendra jamais sous $1$, je rappelle que nous avons supposé $k>1$.
Pour cela, en posant $X=\sqrt{k-1}$, étudions la fraction rationnelle suivante :
$$\frac{1}{X^2+1}+\frac{1}{2}X-1$$
Multiplions le tout par $2(X^2+1)$.
$$2+X(X^2+1)-2X^2-2=X^3-2X^2+X=X(X-1)^2$$
Ainsi, dès lors qu'il existe un $n$ tel que $u_n$ vérifie l'inéquation, tous les suivants suivent.
Il suffit donc de trouver un $k$ tel que $u_1=2$ la vérifie. -
C’est à dire que k>=4/3. C’est bien ça?
Merci infiniment. -
C'est aussi ce que j'ai trouvé, à toi de me dire si ma démonstration est juste et que c'est bien ça.
Je t'en prie -
Il y a juste quelque chose que je n’ai pas compris, c’est le passage de un>=2/ sqrt(k) à l’étape suivante, car normalement, 1/un<= sqrt(k)/2 et non le contraire.
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T'as raison, erreur stupide, je vais chercher à la corriger.
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Si cela marche, la suite va converger en décroissant vers $l = \sqrt{\frac{k}{k-1}}$. Il faut donc que $\sqrt{\frac{k}{k-1}}<2$, ce qui donne $k \geq \frac{4}{3}$. Il faut aussi que les nombres plus grand que $l$ soient envoyés sur les nombres plus grands que $l$, donc que la dérivée en $l$ soit positive, ce qui donne $k\leq 2$. Il me semble qu'on obtient $k \in [\frac{4}{3} ; 2]$.
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Merci beaucoup, tout ce que je vous là, c’est que si la suite est décroissante alors forcément k>=4/3, car un <=u1=2 donc 1<=un( sqrt(1-1/k)<= 2sqrt(1-1/k) ce qui entraîne que 2sqrt(1-1/k)>1/2 …..
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Si une suite récurrente de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ converge, si $f$ est continue, alors la limite $l$ est telle que $f(l)=l$. C'est de cette fonction qu'il parle quand il mentionne des dérivées et des images.
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S’il vous plaît, j’ai bien compris que si la suite est décroissante alors 4/3<=k<=2, mais pourquoi la réciproque est vraie?
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Et bien reprenons depuis le début.
Supposons la suite décroissante.
Elle est minorée, elle converge donc vers le $l$ décrit plus haut.
- $f(2)\leq2$ donc $\frac{2}{k}+\frac{1}{2}\leq2$ et on obtient $k\geq\frac{4}{3}$.
- $f(u_n)=f(l)+(u_n-l)f'(l)+o(u_n-l)$. En divisant par $u_n-l$, on a $\frac{u_{n+1}-l}{u_n-l}=f'(l)+o(1)$
On obtient donc la condition suivante, par décroissance de la suite : $f'(l)\geq0$.
Or, $f'(l)=\frac{1}{k}-\frac{1}{l^2}=\frac{1}{k}-\frac{k-1}{k}=\frac{2-k}{k}$.
Finalement, on a $2\geq k\geq\frac{4}{3}$.
Réciproquement, supposons $2\geq k\geq\frac{4}{3}$.
Montrons que la suite est décroissante. Puisque $k\geq\frac{4}{3}$, $f(u_1)\leq u_1$. Donc il suffit de montrer que $f$ est croissante et la suite sera automatiquement décroissante.
Après calcul, on a $f'(x)=\frac{1}{k}-\frac{1}{x^2}\geq0$ si et seulement si $x\in[\sqrt{k};+\infty]$. Or, pour tout $n$, $$u_n\geq\frac{2}{\sqrt{k}}\geq\frac{k}{\sqrt{k}}=\sqrt{k}$$
Donc la suite décroît. -
Oui, effectivement, tout est si clair maintenant. Un très grand Merci .
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C'est un petit peu plus compliqué, je pense qu'il y a une erreur d'énoncé. Le bon énoncé doit être :
déterminer tous les $k>0$ tels que la suite définie par $u_1=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}k+\dfrac1{u_n}$ soit strictement décroissante.
On trouve alors la condition $\dfrac43<k\leq2$.
En revanche si on se contente d'une suite décroissante au sens large, il y a une infinité de $k>2$ qui conviennent.
Le plus grand est $k=\dfrac12(1+\sqrt{17})\approx2,56$. Pour ce $k$ on a $u_n=\dfrac14(1+\sqrt{17})\approx1,28$ pour $n\geq2$.
Cela s'explique avec l'égalité $u_{n+1}-\ell=(u_n-\ell)\left(\dfrac1k-\dfrac1{u_n\ell}\right)$ où $\ell=\sqrt{\dfrac k{k-1}}$. Si pour un certain $n_0$ on a $u_{n_0}=\dfrac k{\ell}$ alors $u_n=\ell$ pour $n> n_0$. Dans le cas $n_0=1$, $k=2\ell$ d'où $k^2-k-4=0$. Pour $n_0=2$, on trouve $(k+4)^2=4k^3(k-1)$ d'où $k\approx2,05553$.
Si on impose que la suite soit strictement décroissante, alors pour tout $n$ on a $u_n>\ell$ et donc $u_n>\dfrac k{\ell}$ qui entraine à la limite $\ell^2\geq k$ d'où $k\leq2$.
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