n*exp(-n*x)

Lacouette

Ca doit être très facile, mais help !
Pourquoi a-t-on (ça semble évident à l'auteur)

n*exp(-nx) = o(1/n²) ???

J'essaie un DL mais je n'arrive pas à grand chose...
Merci !

Homo Topi

J'imagine que $x$ est supposé positif, auquel cas tu devrais t'en sortir avec le théorème des croissances comparées.

zeitnot

Quelle est la limite de n^3 * exp(-n x) avec x>0 ?

Lacouette

Merci !
Oui, bien sur x est positif.
Je vois bien que l'expression tend vers zéro avec le théorème des croissances comparées.
Mais pourquoi un o(1/n²) ?
Comment fait-on pour l'exhiber ?
Merci !!!

zeitnot

$n^{3} \times e^{-n x}=\frac{n \times e^{-n x}}{\frac{1}{n^{2}}}$ (J'ai tout donné pour écrire en Latex.)

gerard0

Bonsoir.

" pourquoi un o(1/n²) ? " parce que ça suffit pour affirmer la convergence d'une série. Un $o\left(\frac 1 {n^{1,1}}\right)$ suffit aussi, mais c'est plus pénible à écrire.

Cordialement.

Quentino37

on à
$\displaystyle e^{-nx}=\frac{1}{1+nx+\frac{(nx)^2}{2!}+\frac{(nx)^3}{3!}+...}$ donc si on divise par $n^3$ au dénominateur il est évident que ça tend vers 0 si n tend vers l'infini

gerard0

Bonsoir Quentino37.

De quoi parles-tu ? Je veux dire le "ça" ? Car pour $x>0, \ e^{-nx}$ tend vers 0 même sans diviser.

Cordialement.

Quentino37

Le $n^3 e^{-nx}$ tend vers $0$ car l'exponentielle gagne toujours mais pour prouver que l'exponentielle gagne toujours on fait $\displaystyle \frac{1}{e^{nx}/n^3}$
Et en remplaçant par $e^{nx}$ par son développement en polynôme infini on optient que $n^3 e^{-nx}$ tend vers 0
Mais il y à plus simple:
On peut aussi écrire la suite comme le produit de nombres décroissants entre 0 et 1

Chaurien

Pas mal ça : « l'exponentielle gagne toujours ». De mon temps on disait qu'elle « l'emporte » ;-).

etanche

Soit $x>0$ fixé.
On peut aussi étudier le maximum de $f(n)=n^3\exp(-nx)$ pour $n>0$ et voir que cela tend vers $0$.

gerard0

Très dangereux ce « l'exponentielle gagne toujours ». Par exemple pour $e^x+x$ en $-\infty$ ou $\frac{e^x}{x^2}$ en 0.

Je n'ai pas trop compris ce qu'apporte l'explication confuse avec la série ... en général, quand on en est aux négligeables, on sait que $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^x}{x^n} = +\infty$

Cordialement.

Lacouette

Merci !