Comment définir la codimension

dans Algèbre
Bonjour à tous,
J'essaye de clarifier les notions que j'ai apprises sur les espaces vectoriels, et je cherche à définir correctement la codimension. Quand on me l'avait définie, on me l'avait énoncé ainsi:
Soient $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ (corps commutatif) et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Si $S$ et $S'$ sont deux supplémentaires de $F$ dans $E$, alors $\dim (S) = \dim (S')$.
On démontre ensuite ce théorème, et la dimension commune à $S$ et $S'$ définie la codimension de $F$ dans $E$.
J'ai vu une autre définition, qui consiste à munir l'espace quotient $E/F$ d'une structure d'espace vectoriel, et à définir la codimension de $F$ dans $E$ comme la dimension de l'espace $E/F$.
Je me demande si ces deux définitions sont équivalentes, car la première affirme que tous les supplémentaires de $F$ dans $E$ ont la même dimension, mais elle n'assure pas l'existence de ces supplémentaires (qui repose sur l'axiome du choix je crois), donc l'existence de la codimension n'est pas assurée. Dans la deuxième définition, j'ai l'impression que l'on peut toujours définir la dimension de $E/F$ (dimension finie si $E/F$ admet une famille génératrice finie, dimension infinie sinon) sans ce problème d'existence de supplémentaire (et donc d'axiome du choix).
La seconde définition est-elle donc plus forte que la première?
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
J'essaye de clarifier les notions que j'ai apprises sur les espaces vectoriels, et je cherche à définir correctement la codimension. Quand on me l'avait définie, on me l'avait énoncé ainsi:
Soient $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ (corps commutatif) et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Si $S$ et $S'$ sont deux supplémentaires de $F$ dans $E$, alors $\dim (S) = \dim (S')$.
On démontre ensuite ce théorème, et la dimension commune à $S$ et $S'$ définie la codimension de $F$ dans $E$.
J'ai vu une autre définition, qui consiste à munir l'espace quotient $E/F$ d'une structure d'espace vectoriel, et à définir la codimension de $F$ dans $E$ comme la dimension de l'espace $E/F$.
Je me demande si ces deux définitions sont équivalentes, car la première affirme que tous les supplémentaires de $F$ dans $E$ ont la même dimension, mais elle n'assure pas l'existence de ces supplémentaires (qui repose sur l'axiome du choix je crois), donc l'existence de la codimension n'est pas assurée. Dans la deuxième définition, j'ai l'impression que l'on peut toujours définir la dimension de $E/F$ (dimension finie si $E/F$ admet une famille génératrice finie, dimension infinie sinon) sans ce problème d'existence de supplémentaire (et donc d'axiome du choix).
La seconde définition est-elle donc plus forte que la première?
Je vous remercie d'avance pour votre aide!
Réponses
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Oui, sans axiome du choix, si tu es prêt à écrire $\dim(E) = \infty$, la deuxième définition est plus générale; mais équivalente lorsqu'un supplémentaire existe (car alors la composition $S\to E\to E/F$ est un isomorphisme)
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@Maxtimax merci pour votre réponse!
L'axiome du choix est équivalent à l'existence de base pour tout espace vectoriel. L'existence d'une dimension pour tout espace vectoriel est-elle également équivalente à l'axiome du choix? De plus, quand on dit "de dimension infinie", est-ce que cela veut dire "de dimension non finie", ou est-ce que l'on peut "séparer" les mots "dimension" et "infinie", auquel cas cela veut dire que l'on distinguerai les cardinaux des "infinis"?
J'essaye d'être plus clair: dans le cours sur les espaces vectoriels, on commence par définir "de-dimension-finie" (avec des traits d'union "mentalement") en disant que cela signifie "admet une partie génératrice finie". Puis ensuite, quand on montre que toute les parties génératrices et libres ont le même cardinal, on retire les traits d'union (que l'on avait mis mentalement), car le mot "dimension" est alors définie et peut prendre une valeur.
De la même façon, est-ce que l'on distingue les cardinaux dans les dimensions infinies (et cela aurait-il un intérêt si on ne le fait pas déjà), et où l'axiome du choix intervient-il là dedans? -
Comment définis-tu la dimension d'un espace vectoriel si ce n'est comme le cardinal d'une base (on montre que ce cardinal ne dépend pas d'une telle base, si elle existe) ?
Dimension infinie veut dire "non de dimension finie", autrement dit, "il n'existe pas de partie génératrice finie". En présence de choix, c'est évidemment équivalent à l'existence d'une base de cardinal infini. On peut ensuite affiner et parler d'espaces vectoriels de dimension un certain cardinal infini, mais ça nécessite l'existence d'une base de ce cardinal (donc en général, ça nécessite le choix). -
Je ne suis pas sûr de comprendre ta question car tu as l'air d'y répondre, donc je vais essayer mais je ne garantis pas de vraiment répondre.
En première analyse, tu as effectivement la notion "de-dimension-finie" et "de-dimension-infinie".
Puis, en licence ou prépa on apprend que le premier peut se décliner sous la forme "de dimension $n$" pour tout entier $n\in \mathbb N$, mais comme tu le devines, le second peut aussi se décliner en "de dimension $\kappa$" pour tout cardinal $\kappa$.
Ces notions sont définies sans axiome du choix, et de même, on prouve sans axiome du choix que "de-dimension-finie" est équivalent à "de dimension $n$ pour un certain entier $n$"; par contre pour prouver que "de-dimension-infinie" est équivalent "de dimension $\kappa$ pour un certain cardinal infini $\kappa$", il faut l'axiome du choix (pour $\implies$).
Donc "de dimension $n$ pour un certain $n\in \mathbb N$ ou de-dimension-infinie" est prouvable dans ZF pour tout espace vectoriel, mais pas "de dimension $\kappa$ pour un certain cardinal $\kappa$ (fini ou infini)" (en fait, c'est même équivalent à AC).
Donc pouvoir définir $\dim$ de sorte que $\dim(E)$ soit toujours un cardinal requiert l'axiome du choix, oui. Mais si on ne veut pas s'inquiéter de ça, on peut aussi poser $\dim(E) = \infty$ comme abréviation de "de-dimension-infinie" -
@Poirot merci pour votre réponse!
Je définis "dimension" en deux temps. D'abord le bloc de mots "de-dimension-finie", qui signifie "admet une partie génératrice finie". Ensuite je montre que les parties génératrices et libres ont toutes le même cardinal, et je définis ensuite le mot "dimension" (seul cette fois) comme le cardinal d'une base (lorsque l'on est en "dimension-finie").
Si j'ai bien compris, définir "de dimension infinie" par "n'est pas de dimension finie" ne nécessite pas l'axiome du choix (ça serait plutôt "de-dimension-infinie" en un seul bloc); en revanche, si je voulais préciser la "taille" de l'infini, il faudrait utiliser l'axiome du choix. C'est bien ça? -
@Maxtimax désolé j'ai posté pendant que vous répondiez (et je n'avais pas vu votre réponse).
C'est parfaitement clair, merci! -
(PS : sur le forum, il est plus coutume de tutoyer les intervenant-e-s ; et personnellement je préfère aussi ;-) )
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Bonjour!
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