QCM au hasard

Bonjour, désolée ça doit être très simple mais je n'y arrive pas.
la question est : Un QCM comporte 10 questions pour chacune desquelles il y a 4 réponses possibles, dont une seule est correcte. Quelle est la probabilité, en répondant au hasard, de répondre au moins 6 fois correctement.

J'aurais répondu :

P(X>=6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P( X=9) + P(X=10)

avec P(X=k) = (0,25)^k * (0,75)^(10-k) * ( Nombre de combinaisons de k parmi 10).

Mais la solution est : On utilise comme univers l'ensemble des n-uplets de nombres compris entre 1 et 4(ensemble de toutes les listes de réponses possibles), que l'on traduit de la probabilité uniforme. Il y a 4^10 réponses possibles (ok jusque là)
Le nombre de réponses correspondant à ce que l'on cherche est (Nombre de combinaisons de 6 parmi 10) * 4^4; En effet une liste acceptable de réponses s'obtient en choisissant 6 questions auxquelles on donne une bonne réponse et en choisissant n'importe quelle réponse pour les 4 questions restantes.

Donc la probabilité est (1/4)^10 * (Nombre de combinaisons de 6 parmi 10) * (4^4).

Qu'est ce qui ne va pas ?
Merci !

Réponses

  • Dans ton P(X=6), tu n’as donné par exemple que le cas où l’on répondrait juste aux 6 premières et faux aux 4 suivantes.
    Justement, il manque toutes les autres combinaisons et donc un coefficient binomial $C_{10}^6$.

    Édit : Ha pardon, tu l’as écrit avec « * ».

    Édit 2 : ce qui ne va pas c’est que dans la solution je ne lis pas qu’il est question du « au moins 6 » mais plutôt exactement 6.
    Enfin… j’essaye de préciser car c’est dit tout de même avec (n’importe quelles réponses pour les autres…).


    Bon je dis n’importe quoi, as-tu évalué les deux méthodes (ta probabilité et celle du corrigé) ?
  • En fait, le codage du corrigé est le suivant :
    Il dénombre les réponses de la forme (VVVVVV????) (6 vraies et 4 quelconques)
    Mais je me demande s'il ne commet par l'erreur de compter plusieurs fois les mêmes en multipliant par $C_{10}^6$.

    Par exemple :
    (VVVVVVF$_?$F$_?$V$_?$F$_?$) et (V$_?$VVVVVF$_?$F$_?$VF$_?$) sont les mêmes grilles (ordonnées cette fois) et pourtant on a permuté deux "V" (en couleur), l'un "quelconque" et l'autre "déjà mis".
  • Si on utilise la méthode du corrigé, avec des valeurs un peu différentes, juste pour voir :
    Proba d'avoir au moins 5 bonnes réponses : ce serait donc $\dfrac{C(10,5)*4^5}{4^{10}}$
    Pourquoi pas.

    Et la proba d'avoir au moins 1 bonne réponse : $\dfrac{C(10,1)*4^9}{4^{10}}$
    Ohh ! une proba plus grande que 1

    Comme dit Dom, il y a plein de combinaisons qui sont comptées plusieurs fois.
    Le corrigé est faux, et ta réponse est bonne.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Mille mercis !
    Ca me rassure !....:-)
  • Salut,
    quelques remarques :
    - Cet exercice est archi-classique au lycée dans le chapitre sur le schéma de Bernoulli et la loi binomiale. Le plus parlant est de traiter $P(X=k)$ et de dénombrer des symboles dans une liste comme le fait Dom.
    - L'autre corrigé est faux : on y dénombre les numéros de bonnes réponses sans tenir compte de la question à laquelle ils répondent.

  • Bonjour,

    Le corrigé apparaît tout de suite faux car des cas sont désignés 2 fois. il choisit 6 réponses justes parmi 10, et 4 n'importe quelle réponse pour les 4 restantes. Mais VVVVVVVFFF peut être choisi comme (VVVVVV)VFFF ou V(VVVVVV)FFF. donc 1 seul cas compté 2 fois.

    Si on choisit les réponses justes, les questions restantes n'ont pas la liberté d'être juste. Erreur de débutant.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.