Olympiades 2021 - problème 4

Rescassol

Bonjour
Voilà ma solution complexe du problème 4, même si ce n'est pas non plus la solution qui était attendue.

clc, clear all, close all

% On part du quadrilatère de contact SUVW

syms s u v w;
syms sB uB vB wB; % Conjugués

sB=1/s; % Morley's trick 
uB=1/u; 
vB=1/v;
wB=1/w;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABCD du quadrilatère de départ
b=2*w*s/(w+s);
c=2*s*u/(s+u);
d=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*sB/(wB+sB);
cB=2*sB*uB/(sB+uB);
dB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

% Centre et carré du rayon du Cercle circonscrit Omega au triangle AIC

[om omB R2]=CercleTroisPoints(a,0,c,aB,0,cB);

om=Factor(om);
R2=Factor(R2);

% On trouve:

om=2*s*u*v*w*(s+u-v-w)/((s+u)*(v+w)*(s*u-v*w));
R2=4*s*u*v*w*(s*u*v+s*u*w-s*v*w-u*v*w)*(s+u-v-w)/((s+u)^2*(v+w)^2*(s*u-v*w)^2);

%-----------------------------------------------------------------------

% Second point d'intersection X de la droite (AB) et de Omega

syms x

% (AB) a pour équation wB z + w zB - 2 = 0 donc

xB=(2-wB*x)/w;

Nulx=numden(Factor((x-om)*(xB-omB)-R2));

% On trouve (s^2*u + s*u^2 - v*w*s - v*w*u)*x - 2*s^2*u*w - 2*s*u^2*w + 2*s*u*w^2 + 2*v*s*u*w = 0
% Donc:

x = 2*s*u*w*(s + u - v - w)/((s + u)*(s*u - v*w));
xB=Factor((2-wB*x)/w);

%-----------------------------------------------------------------------

% Second point d'intersection Y de la droite (AD) et de Omega

syms y

% (AD) a pour équation vB z + v zB - 2 = 0 donc

yB=(2-vB*y)/v;

Nulx=numden(Factor((y-om)*(yB-omB)-R2));

% On trouve (s^2*u + s*u^2 - v*w*s - v*w*u)*y - 2*s^2*u*v - 2*s*u^2*v + 2*s*u*v^2 + 2*w*s*u*v = 0
% Donc:

y = 2*s*u*v*(s + u - v - w)/((s + u)*(s*u - v*w));
yB=Factor((2-vB*y)/v);

%-----------------------------------------------------------------------

% Second point d'intersection Z de la droite (BC) et de Omega

syms z

% (BC) a pour équation sB z + s zB - 2 = 0 donc

zB=(2-sB*z)/s;

Nulz=numden(Factor((z-om)*(zB-omB)-R2));

% On trouve (- v^2*w - v*w^2 + s*u*v + s*u*w)*z - 2*s^2*v*w + 2*s*v^2*w + 2*s*v*w^2 - 2*u*s*v*w = 0
% Donc:

z = 2*s*v*w*(s + u - v - w)/((v + w)*(s*u - v*w));
zB=Factor((2-sB*z)/s);

%-----------------------------------------------------------------------

% Second point d'intersection T de la droite (CD) et de Omega

syms t

% (CD) a pour équation uB z + u zB - 2 = 0 donc

tB=(2-uB*t)/u;

Nult=numden(Factor((t-om)*(tB-omB)-R2));

% On trouve (- v^2*w - v*w^2 + s*u*v + s*u*w)*t - 2*u^2*v*w + 2*u*v^2*w + 2*u*v*w^2 - 2*s*u*v*w = 0
% Donc:

t = 2*u*v*w*(s + u - v - w)/((v + w)*(s*u - v*w));
tB=Factor((2-uB*t)/u);

%-----------------------------------------------------------------------

% Carrés des longueurs des côtés du quadrilatère ADTX

AD2=Factor((d-a)*(dB-aB));
DT2=Factor((t-d)*(tB-dB));
TX2=Factor((x-t)*(xB-tB));
XA2=Factor((a-x)*(aB-xB));

% Carrés des longueurs des côtés du quadrilatère CDYZ

CD2=Factor((d-c)*(dB-cB));
DY2=Factor((y-d)*(yB-dB));
YZ2=Factor((z-y)*(zB-yB));
ZC2=Factor((c-z)*(cB-zB));

% On trouve:

AD2 = -(4*v^2*(u - w)^2)/((u + v)^2*(v + w)^2);
DT2 = -(4*v^2*(u - w)^2*(s*v - u*w)^2)/((u + v)^2*(v + w)^2*(s*u - v*w)^2);
TX2 = -(4*(s*w - u*v)^2*(s*u*v + s*u*w - s*v*w - u*v*w)*(s + u - v - w))/((s + u)^2*(v + w)^2*(s*u - v*w)^2);
XA2 = -(4*(s^2*u*w + s*u^2*w - s*u*v^2 - 2*s*u*v*w - s*u*w^2 + s*v^2*w + u*v^2*w)^2)/((s + u)^2*(v + w)^2*(s*u - v*w)^2);

CD2 = -(4*u^2*(s - v)^2)/((s + u)^2*(u + v)^2);
DY2 = -(4*u^2*(s - v)^2*(s*v - u*w)^2)/((s + u)^2*(u + v)^2*(s*u - v*w)^2);
YZ2 = -(4*(s*w - u*v)^2*(s*u*v + s*u*w - s*v*w - u*v*w)*(s + u - v - w))/((s + u)^2*(v + w)^2*(s*u - v*w)^2);
ZC2 = -(4*(- s^2*v*w + s*u^2*v + s*u^2*w - 2*s*u*v*w + s*v^2*w + s*v*w^2 - u^2*v*w)^2)/((s + u)^2*(v + w)^2*(s*u - v*w)^2);

%-----------------------------------------------------------------------

% Vérification de AD + DT + T X + XA = CD + DY + Y Z + ZC

Nul1=Factor(TX2-YZ2) % Égal à 0 donc TX=YZ

% Il reste à verifier la somme des trois autres:
% On a, au coefficient multiplicatif -4 près:

AD = v*(u - w)/((u + v)*(v + w));
DT = v*(u - w)*(s*v - u*w)/((u + v)*(v + w)*(s*u - v*w));
XA = (s^2*u*w + s*u^2*w - s*u*v^2 - 2*s*u*v*w - s*u*w^2 + s*v^2*w + u*v^2*w)/((s + u)*(v + w)*(s*u - v*w));

CD = u*(s - v)/((s + u)*(u + v));
DY = u*(s - v)*(s*v - u*w)/((s + u)*(u + v)*(s*u - v*w));
ZC = (- s^2*v*w + s*u^2*v + s*u^2*w - 2*s*u*v*w + s*v^2*w + s*v*w^2 - u^2*v*w)/((s + u)*(v + w)*(s*u - v*w));

E1=AD+DT+XA;
E2=CD+DY+ZC;

Nul2=Factor(E1-E2) % Égal à 0, donc c'est gagné

Cordialement,
Rescassol