Vers l’infini et au-delà

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Réponses

  • Bonsoir, Poirot,

    Si j’ai écrit $2^{\aleph_{0}} = \aleph_{1}$, c’est pour la raison suivante :

    - Si un ensemble possède $n$ éléments, l’ensemble de ses parties possède $2^{n}$ éléments.
    - Le cardinal de l’ensemble des parties de $\aleph_{k}$ est le cardinal $\aleph_{k+1}$.
    - Ce qui conduit à écrire $\aleph_{1}=2^{\aleph_{0}}$.

    J’ignore si tu approuveras.
  • Ce que vous écrivez n'est vrai qu'avec l'hypothèse (généralisée) du continu qui est indécidable dans ZFC
  • D’accord, Médiat !
  • À propos de $2^{\aleph_{0}}=\aleph_{1}$,

    Poirot a écrit :
    « En tout cas, c’est une égalité indépendante des axiomes de ZFC. »

    et Médiat a écrit :
    « Ce que vous écrivez n’est vrai qu’avec l’hypothèse (généralisée) du continu qui est indécidable dans ZFC. »

    Est-ce que ces deux remarques sont susceptibles de remettre en question l’indénombrabilité de $2^{\aleph_{0}}$ ?
  • Non,
    Est indénombrable (ce n'est qu'un mot) tout ce qui est $> \aleph_0$ , et c'est le cas de $\aleph_1$ et de $2^{\aleph_0}$ qu'ils soient égaux ou non.
  • Sneg a écrit:
    Le cardinal de l’ensemble des parties de $\aleph_{k}$ est le cardinal $\aleph_{k+1}$.

    Ben non, c'est $2^{\aleph_k}$ (le cardinal de) l'ensemble des parties de $\aleph_k$, et c'est précisément l'objet de l'hypothèse généralisée du continu de postuler que $2^{\aleph_k} = \aleph_{k+1}$ pour tout ordinal $k$, et ceci est indépendant de $\mathsf{ZFC}$.

    La non dénombrabilité de $2^{\aleph_0}$ (qui veut simplement dire que $2^{\aleph_0} > \aleph_0$), donc de $\mathbb R$, est un théorème de $\mathsf{ZF}$. De manière générale on a :

    Théorème : Soit $E$ un ensemble. Alors il n'existe pas de surjection de $E$ dans $\mathcal P(E)$, l'ensemble des parties de $E$. En terme de cardinalité, on a donc $\mathrm{card}(E) < \mathrm{card}(\mathcal P(E))$.

    Démonstration : Si $f : E \to \mathcal P(E)$, la partie $\{x \in E \mid x \not \in f(x)\}$ de $E$ n'est pas dans l'image de $f$. (Je te laisse vérifier pourquoi !)

    C'est un argument diagonal, à nouveau du à Cantor il me semble.
  • @Poirot : oui, l'argument diagonal est effectivement dû à Cantor.

    @Tous : ce qui est parfois source de confusion c'est que Cantor était persuadé que HGC était vraie, donc pour lui un sous-ensemble non dénombrable de $\mathbb{R}$ avait nécessairement pour cardinalité $\aleph_1$. Heureusement, de nos jours on dispose d'une notation qui règle le problème, c'est la fonction $\beth$ (lire : beth) :
    $\beth_0= \aleph_0$.
    $\beth_1= 2^{\beth_0}$.
    $\beth_2= 2^{\beth_1}$ etc.
    Du coup il n'y a plus d'ambiguïté, et HGC peut s'écrire : "pour tout ordinal $\alpha$, $\beth_{\alpha}=\aleph_{\alpha}$".
  • Merci, Médiat, Poirot et Martial, pour ces précisions que je lirai attentivement.
  • S’il vous plaît, encore un peu d’histoire des mathématiques !

    De tout ce qui précède, je retiens ceci :
    Si un ensemble infini est non dénombrable, alors son cardinal est strictement supérieur au cardinal de $\mathbb{N}$.

    Cela dit, y a-t-il, ou y a-t-il eu, des mathématiciens pensant comme ceci ?
    Si nous rencontrons des ensembles infinis non dénombrables, c’est que nos mathématiques ne sont pas suffisamment développées encore que pour pouvoir les dénombrer.

    Merci d’avance.
  • Non, dénombrer = établir une bijection avec $\mathbb N$, or quand on sait que cette bijection n'existe pas, c'est qu'elle n'existe pas, pas que l'on ne la connaît pas.
  • Une fois de plus, grand merci, Médiat !
  • Bonjour, la dernière question de Sneg me rappelle un article de Jean-Paul Delahaye: « Logique de la perfection » dans lequel il évoque une théorie mathématique de l’omnipotence appliquée à l’hypothèse du continu.
    Dans cette théorie, qui semble être mathématiquement des plus sérieuses, il est possible de « mandater » des êtres omnipotents ou omniscients capables d’effectuer des recherches infinies ou de calculer des réels aux développements décimaux infinis « comme s’il s’agissait de nombres entiers ».
    Le mathématicien Hugh Woodin imagine demander à l’un d’eux: est-ce que la conjecture des nombres premiers jumeaux est vraie ? Est-ce qu’elle est prouvable dans l’arithmétique de Peano ? Est-ce que le premier bit du codage standard de la plus courte preuve est $0$ ? Est-ce que le deuxième est $1$ ? etc…

    L’hypothèse du continu est-elle indécidable par nature ou pourrait-elle être affirmée ou infirmée « expérimentalement » par un être tout-puissant capable d’effectuer une exploration systématique de tous les sous-ensembles infinis de $\mathbb{R}$ à la recherche d’un cardinal intermédiaire entre celui de $\mathbb{N}$ et celui de $\mathbb{R}$ ?
    Comme l’Île du Crâne dans King Kong, est-il possible que des sous-ensembles inexplorés de $\mathbb{R}$ n’aient pas le cardinal de $\mathbb{R}$ ?

    L’un de vous a-t-il eu connaissance de cette théorie mathématique de l’omnipotence ?
  • Jamais entendu parler mais
    un être tout-puissant capable d’effectuer une exploration systématique de tous les sous-ensembles infinis de IR à la recherche d’un cardinal intermédiaire entre celui de IN et celui de IR

    Le problème est que selon le modèle (ce qui fait beaucoup de IR) dans lequel on se trouve, les réponses vont être différentes et on les connais (en gros)
  • @df : le problème c'est qu'on ne sait pas vraiment qu'est-ce que c'est que $\mathbb{R}$. De même, quand on parle de l'ensemble des parties d'un ensemble infini $X$ (par exemple $\omega$), on ne sait pas bien qu'est-ce qu'on a pris comme ensembles.
  • Merci à vous !
  • Pour en savoir plus sur ce dont parle df, voir l'excellent exposé Bourbaki de Patrick Dehornoy, disponible ici : https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/Surveys/Dgt.pdf

    Attention, un minimum d'aisance avec la théorie des ensembles est nécessaire.
  • Il y a quelques minutes j'ai voulu répondre à Poirot mais mon message est parti dans la stratosphère. Je ne sais pas ce qui s'est passé. (Je ne pense pas qu'il ait été supprimé, je n'insultais personne et j'étais en plein dans le sujet, lol).
  • Bon, c'était juste pour dire que j'ai lu ce papier de Patrick et qu'il est effectivement très clair et très instructif.
  • Pour info : comme tout le monde l'a compris, les travaux de Woodin dont parle Patrick dans le papier conduisent à penser très sérieusement que "fondamentalement", $2^{\aleph_0} = \aleph_2$.

    Mais ce qui est marrant c'est qu'au moment où Patrick rédige cet article, Woodin est précisément en train de "tourner sa veste". Quelques années plus tard il clame haut et fort que la bonne hypothèse est $\mathbb{V} = Ultimate_{\mathbb{L}}$ (c'est ça qu'on appelle le programme des modèles intérieurs) et que par conséquent $\mathbb{V} \models GCH$, et a fortiori $2^{\aleph_0} = \aleph_1$.
  • La volonté affichée de Woodin est de répondre à la question : "Est-ce que HG est vraie ou fausse", question que seul un platonicien pur et dur peut se poser (Krivine a fait un commentaire peu aimable (:-D) sur cette façon de poser la question). En tout état de cause ce n'est pas une question purement mathématique. Woodin a précisé ce qu'il voulait : "trouver un ou des axiomes qui impliquent HC ou nonHC" (dit comme cela c'est débile) en précisant que ces axiomes ne doivent pas être contre-intuitifs.

    Personnellement Je trouve qu ni HC ni nonHC ne sont contre-intuitifs, mais en tout état de cause, sans une définition mathématique des spécificités de ces axiomes, on risque de tourner en rond un bon bout de temps.

    A ces critiques je dois ajouter que le travail de Woodin, ($\Omega$-logique) est loin d'être inintéressant, quelque soient ses motivations
  • @Médiat : en un certain sens Woodin est le plus grand platonicien de la Terre... alors que Krivine est exactement à l'opposé. Normal qu'ils se tirent un peu dans les pattes.

    "Woodin a précisé ce qu'il voulait : "trouver un ou des axiomes qui impliquent HC ou non HC"."
    OK, mais mon niveau ne me permet pas d'apprécier lequel de Ultimate_L ou de la $\Omega$-conjecture est le moins contre-intuitif.

    D'accord avec toi sur l'intérêt des travaux de Woodin en général.
  • Mon problème de fond est qu'il me semble que "contre-intuitif ou non" n'est pas une question de niveau, mais reste très personnel et individuel, donc tant qu'on aura pas de critères objectifs (mathématiques) ...

    Je dois aussi avouer que je suis de la team Krivine
  • Krivine dit : "Eh, les gars, Cohen et Easton ont prouvé que tout est possible, ou presque. Soit, tous les modèles se valent".

    Woodin dit : "Il doit y avoir quelque part un univers canonique qui reflète vraiment ce qu'on en attend".

    Moi je me considère comme semi-platonicien. L'hypothèse $2^{\aleph_0} = \aleph_{579}$ me paraît incongrue, d'autres, genre "le continu est faiblement inaccessible or more" me plaisent davantage. Tout ça c'est une question de point de vue.
  • Tout ça c'est une question de point de vue.
    Je ne pourrais pas être plus d'accord
  • Je reste convaincu que ni $\mbox{HC}$, ni $\neg\mbox{HC}$ ne trouveront une justification sans équivoque dans l'une quelconque des théories des ensembles. Clairement $\mbox{Card}\,\Bbb{N}=\mbox{Card}\,\Bbb{Q}$, si bien que tout revient à s'immerger dans une autre théorie bien plus élaborée, comme celle des extensions corporelles par exemple, pour tenter d'apporter une réponse presque-satisfaisante. Par fonctorialité, l'on pourra conclure dans la catégorie des ensembles.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • @Titi : c'est quoi la théorie des extensions corporelles ?
  • Ci-joint un papier qui devrait intéresser plusieurs personnes. Il y est question des deux "futurs possibles" de la théorie des ensembles.
  • @Martial : bonjour. Il s'agit de la théorie des extensions de corps. Merci pour l'article. Mais, d'après ce que je viens de parcourir rapidement, l'on ne fait que déplacer le problème, l'on ne le résout pas. Je vais le lire à tête reposée, sachant que je suis sur mes recherches d'emploi et sur le livre de Dehornoy (une pure merveille).
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • @Thierry : je n'ai pas encore lu tout le papier (c'est un peu chaud), mais il est clair qu'il ne résout pas le problème. Au mieux il explique quels sont les deux futurs possibles, et qu'ils sont totalement incompatibles l'un avec l'autre.

    Mais ce qui me gêne, c'est que si c'est le premier futur possible qui s'avère être le bon, i.e. si Ultimate_L existe, je ne vois pas pourquoi le "gouvernement mondial" (présidé disons par Woodin) éditerait un décret obligeant tous les mathématiciens à travailler dans un univers vérifiant V=Ultimate_L...
  • Pour donner un parallèle foireux, on SAIT que $\mathbb{L}$ existe, il satisfait AC, HGC et tout le bazar, mais jusqu'à aujourd'hui personne ne nous a obligés à travailler avec $\mathbb{V} = \mathbb{L}$. (Thanks God).
  • Pourquoi thanks god Martial ? J'ai oublié quels étaient les "défauts" de $L$. De mémoire c'est une incompatibilité avec certains grands cardinaux, mais ça ne concerne pas vraiment le "mathématicien de la rue".
  • @Poirot : je vais essayer d'expliquer mon thanks god. Comme tu dois t'en douter, je hais l'hypothèse $\mathbb{V}= \mathbb{L}$, je la trouve beaucoup trop restrictive. La théorie des ensembles est une théorie imprédicative : un objet n'a pas besoin d'être défini pour exister. Dans cette optique on cherche à "maximiser" l'univers. (A noter que Gödel pensait comme moi... enfin, pour être honnête c'est plutôt moi qui pense comme Gödel).

    Puisque $\mathbb{L}$ est modèle intérieur, l'axiome de constructibilité ne change rien au niveau de la hauteur. Par exemple, s'il existe dans $\mathbb{V}$ un cardinal mesurable $\kappa$, ce cardinal existe encore dans $\mathbb{L}$ et reste un cardinal (oeuf corse). Simplement, $\mathbb{L}$ ne "voit pas" les ultrafiltres qui témoignent de la mesurabilité de $\kappa$.

    Par contre ce qui change c'est au niveau de la largeur. La bifurcation se produit au niveau de $0^{\#}$. Si $0^{\#}$ n'existe pas, $\mathbb{L}$ "ressemble à" $\mathbb{V}$. Si $0^{\#}$ existe, $\mathbb{L}$ est "beaucoup plus mince" (thin) que $\mathbb{V}$. Je trouve donc dommage de se priver de tous les grands cardinaux au-dessus de $0^{\#}$.

    Je suis d'accord avec toi que le mathématicien de la rue ne s'inquiète guère de ce genre de questions. Au contraire, si on lui impose $\mathbb{V}= \mathbb{L}$ ça l'arrange, car AC et HGC deviennent des THEOREMES, et il n'a plus de questions métaphysiques à se poser à ce sujet. Mais moi je serais plutôt un settheorist de la rue. (Je te le concède, plus de la rue que settheorist).
  • Bonsoir,

    D'abord, grand merci pour la patience dont vous faites preuve à mon égard. C'est très gentil.

    Heureusement pour vous, je n'aurai plus de temps à consacrer aux mathématiques avant un moment et je n'ai plus que deux questions à vous poser.
    Attention à vous ! La première risque de vous faire étouffer de rire ou d'indignation. Quant à la seconde, elle me semble beaucoup plus sérieuse. Je devrais donc sauter la première et passer directement à la seconde mais, sans la première, la seconde manque à mes yeux de quelque chose. Alors, je me lance, voici la première question :

    On trouvera ci-dessous une très courte approche de la notion de "dénombrement". Une approche fort naïve, j'en ai bien conscience.

    Il n'y a aucune chance pour que vous l'approuviez. Alors, à supposer que les définitions proposées soient claires pour vous, j'aimerais juste savoir si cette approche conduit vraiment à une contradiction interne (puisque la non-contradiction est un point crucial en mathématiques).

    Merci d'avance à quiconque aura la gentillesse de répondre à cette question avec sérieux.

    Définitions :

    1) On appelle "nombre de Cantor" le nombre que l'on construit afin de faire valoir l'argument diagonal.

    2) On appelle "dénombrement parfait" un dénombrement qui peut être mené jusqu'à son terme, c'est-à-dire jusqu'au dernier élément à dénombrer.

    3) On appelle "dénombrement imparfait" un dénombrement qui ne peut pas être mené jusqu'à son terme, c'est-à-dire un dénombrement qui est et restera toujours en cours d'exécution, un dénombrement "qui tend continûment vers la fin, mais sans jamais l'atteindre", car il n'y a pas de dernier élément.

    Mise en application :

    De ces définitions, on tire que :

    a) les éléments d'un ensemble fini peuvent faire l'objet d'un "dénombrement parfait" car, à un moment donné, on sera arrivé au bout du dénombrement, étant donné le nombre fini d'éléments à dénombrer.

    b) les éléments d'un ensemble infini ne peuvent faire l'objet que d'un "dénombrement imparfait" car, étant donné le nombre infini d'éléments à dénombrer, ce dénombrement restera toujours en cours d'exécution. Il tendra continûment vers la fin sans jamais l'atteindre.

    C'est ainsi que, tout comme $\mathbb{N}$, l'ensemble $\mathbb{R}$ peut faire l'objet d'un "dénombrement imparfait".
    On remarquera que l'argument diagonal, valable quand on imagine possible un "dénombrement parfait" de $\mathbb{R}$, n'est dans ce cas-ci pas d'application. En effet, en quoi serait-ce contradictoire que le nombre de Cantor soit absent de la liste des réels où l'on s'attend qu'il soit, alors même que cette liste n'est et ne sera jamais terminée, donc jamais complète ?

    Encore merci d'avance.
  • Sneg a écrit:
    C'est ainsi que, tout comme $\mathbb{N}$, l'ensemble $\mathbb{R}$ peut faire l'objet d'un "dénombrement imparfait".

    Sneg il me semble que tu n'as pas encore saisit la différence fondamentale entre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}$.

    Dans le doute je te fais un exemple concret :

    Si on parle des entiers ou des rationnels si tu préfères, il existe une façon "de les compter".

    Concrètement ça veut dire qu'il existe un moyen de prononcer un rationnel différent toutes les secondes et être certain que n'importe quel rationnel sera prononcé un jour. Ça veut dire que si c'est toi qui compte les rationnels et que je choisis un rationnel au hasard, je sais qu'à un moment donné tu vas le prononcer. Peut-être dans 3 milliards d'années mais tu vas le prononcer.

    Par contre avec les réels non. Tu n'as aucun moyen de faire la même chose. Si tu prononces un réel différent toutes les secondes, il y aura toujours un réel que tu ne prononceras jamais et ceci quelle que soit ta façon de les compter.
  • Merci beaucoup, raoul.S.

    Si, si, je pense avoir compris l'idée de Cantor, concernant la différence entre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}$.
    Je pense que ta réaction vient de ce que, comme lui, tu imagines possible un "dénombrement parfait" (selon mon message précédent) de $\mathbb{R}$. Je comprends l'idée mais ne peux l'approuver, tout comme on comprend Zénon quand il "démontre" que Achille ne rattrapera jamais la tortue à la course, mais qu'on ne l'approuve pas.
  • A nouveau, tu mets une temporalité là où il n'y en a pas. Ce n'est pas que "on ne finit jamais de dénombrer", c'est juste que "on ne peut pas dénombrer".
  • Merci également, Poirot.

    Pour gagner du temps, et ne pas vous faire perdre votre temps, mieux vaut passer directement à la seconde question.

    Concentrons-nous dorénavant sur ce que vous avez écrit, vous.

    A plusieurs reprises dans ce fil, l'idée "d'épuiser $\mathbb{N}$" a été évoquée. Un message de gerard0 est on ne peut plus clair sur la question, quand il écrit : "Pour pouvoir utiliser l'idée de Cantor, il faut avoir fini d'utiliser les nombres entiers, il n'en reste plus."

    Mais encore faudrait-il (me) démontrer que épuiser $\mathbb{N}$ est une chose possible car, comme l'a écrit Poirot quelque part dans ce fil : "Bah oui, si on part de quelque chose de faux on peut tout en déduire, ce n'est pas un scoop."
  • La différence avec Zénon c'est que sa démonstration n'en est pas une.

    Ceci dit à mon avis il faudrait que tu lises un peut de théorie des ensembles de base. Ça te permettrait de t'affranchir de l'intuition physique que tu veux donner à la notion de dénombrement. En math dire qu'un ensemble est dénombrable veut simplement dire qu'il est en bijection avec $\mathbb{N}$ point barre. Il n'y a pas de notion de temps comme dans ton point 3).
  • D'accord, raoul.S, sur l'idée de lire un peu de théorie. :-)

    Cela dit, il n'a pas encore été répondu à ma première question, qui est de savoir si ma conception naïve du dénombrement est viable, c'est-à-dire sans contradiction avec elle-même (je me doute bien qu'elle est en contradiction avec la théorie officielle).

    Je pense que tu rédigeais quand j'ai posté ma seconde question, pour faire gagner du temps à tout le monde.
  • Imaginez que vous vouliez "énumérer" les rationnels :
    Vous comptez le premier à 0h;00mn:00s
    le deuxième 1 seconde plus tard,
    le suivant 1/2 seconde plus tard,
    etc.

    A chaque fois vous mettez moitié moins de temps que la foisprécédente, à 0h:00mn:02sec vous aurez épuisé les rationnels (c'est du Zénon), mais on ne peut pas faire la même chose avec les réels
  • Bonjour, Médiat,

    Vous me dites que, mathématiquement, on peut épuiser $\mathbb{N}$ ?
  • Sneg a écrit:
    On appelle "nombre de Cantor" le nombre que l'on construit afin de faire valoir l'argument diagonal.
    Personne ne lit ce qu'il écrit ? Cette définition n'a aucun sens.

    Contrairement à ce qu'il a dit et répété, Sneg n'a toujours pas compris l'argument diagonal, et toues les explication n'ont servi à rien. Il continue à baratiner sur sa fausse compréhension de ce qu'il a mal lu, et toutes ses interventions visent à refuser la preuve de non dénombrabilité de $\mathbb R$, jamais à comprendre la théorie des ensembles et la notion de cardinal.

    Cordialement.
  • Bonjour,

    en fait, Sneg, comment définissez-vous mathématiquement la notion de "dénombrement" que vous utilisez? C'est le premier point à expliciter. Le problème est qu'on ne peut jamais répondre mathématiquement à une question qui n'est pas posée correctement mathématiquement.
    C'est bien tout le problème d'ailleurs de la modélisation: comment 'traduire' dans un langage mathématique des intuitions, une certaine réalité, etc. Et comme on dit la carte n'est pas le territoire, ce qui fait qu'au final, il faut distinguer ce qui relève des mathématiques, monde parfait, où tout fonctionne sans problème (c'est d'ailleurs très rassurant de faire des mathématiques pour cela), et le monde dans lequel nous vivons, incluant nos intuitions, nos croyances, l'incertitude dite radicale, etc.

    @l
  • Bonsoir, @|

    J’envisage le dénombrement comme l’action de passer en revue, un à un jusqu’au dernier (s’il en existe un), les éléments d’un ensemble, en les comptant. Je sens que Poirot va encore me reprocher la temporalité de ma conception du dénombrement.
  • " le dénombrement comme l’action de passer en revue, un à un jusqu’au dernier (s’il en existe un), les éléments d’un ensemble, en les comptant."
    Justement, ce n'est pas défini mathématiquement. Et cela ne correspond pas à la définition de 'dénombrement' utilisée de manière standard en mathématiques.

    Eventuellement, votre idée renvoie à ce qu'on appelle la "récursivité". On parle dès lors de "récursivement dénombrable" par exemple, mais cette notion est plus faible que celle de 'dénombrement': un ensemble récursivement dénombrable est toujours dénombrable (et $\mathbb{R}$ n'est pas récursivement dénombrable).

    Eventuellement, là aussi - c'est pour donner des pistes de réflexion également -, vous pouvez confondre $\mathbb{R}$ avec l'ensemble de tous les réels 'constructibles', c'est-à-dire ceux dont on a besoin pour résoudre des équations polyniomales, plus tout ce dont on aurait besoin avec les fonctions 'usuelles' (comme les fonctions trigonométriques, la fonction exponentielle, etc.). Cet ensemble est lui dénombrable... mais il n'est pas égal aux réels.

    @l
  • Même 'épuiser' est à définir.
  • Comme toujours, gerard0 ne fait que me dénigrer.

    Encore une fois, il n’a pas compris pas mon intention :
    J’émets une idée dont la théorie me laisse penser qu’elle présente un défaut, mais je ne sais pas où.
    La seule réponse qu’il puisse me donner est : ton idée est mauvaise parce qu’elle est en désaccord avec la théorie.
    Hautement pédagogique !

    Poirot a au moins pointé la « temporalité », comme défaut. J’en tiens compte.

    [Ajout]
    Définir « épuiser » ? Ah, mais j’aimerais que quelqu’un le fasse. C’est la question primordiale.

    [Ajout 2]
    Merci, @|, pour votre remarque sur la notion de dénombrement que j’ai proposée (et qui ne vous convient pas).
  • En fait, à nouveau, on ne peut (malheureusement?) répondre qu'à des questions correctement formulées mathématiquement. Autrement, l'interprétation/la traduction mathématique va diverger entre ce chacun comprend. L'histoire des mathématiques regorge de ce type de débats en fait. Et ensuite, il y des convergences progressives pour définir et accepter les notions usuelles.
  • "la notion de dénombrement que j’ai proposée (et qui ne vous convient pas)."
    Ce n'est pas qu'elle ne me convient pas. C'est 1) qu'elle n'est pas traduite mathématiquement; 2) que sa traduction mathématique qui me semble la plus proche (mais c'est mon interprétation...) n'est pas celle qui correspond à la notion de "dénombrement" acceptée et utilisée en mathématiques aujourd'hui.
  • Je ne sais pas, @|, si ma question va être formulée correctement, mais j’aimerais que gerard0 en personne fasse savoir à tout le monde ici comment il fait pour « avoir fini d’utiliser les nombres entiers, il n’en reste plus » au cours d’un raisonnement.

    Cordialement.
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