Vers l’infini et au-delà
Bonjour
J’ai une question à poser à propos de l’argument de la diagonale de Cantor.
Je résume la situation avec mes mots.
Pour démontrer que l’ensemble des réels appartenant à l’intervalle $[0, 1]$ est infini non dénombrable, on commence par supposer que l’on puisse dresser la liste $L$ exhaustive de tous ces nombres réels pour, ensuite, montrer que quelle que soit la façon dont on s’y est pris on aura toujours omis de mentionner au moins un réel, à savoir celui qui se trouve sur la fameuse diagonale que vous connaissez et dont on aura, par exemple, augmenté chaque chiffre d’une unité, le $9$ donnant $0$.
Une remarque. Pour que le raisonnement soit complet, ne doit-on pas démontrer également que la liste $L’$ des « réels omis » est elle-même un ensemble infini non dénombrable ?
En effet, si $L’$ est dénombrable, alors on a :
$L$ (dénombrable) + $L’$ (dénombrable) = ensemble dénombrable.
D’où, les deux questions :
1) Ma remarque est-elle fondée ?
2) Si oui, comment démontrer que la liste $L’$ est elle-même un ensemble infini non dénombrable ?
Merci d’avance.
J’ai une question à poser à propos de l’argument de la diagonale de Cantor.
Je résume la situation avec mes mots.
Pour démontrer que l’ensemble des réels appartenant à l’intervalle $[0, 1]$ est infini non dénombrable, on commence par supposer que l’on puisse dresser la liste $L$ exhaustive de tous ces nombres réels pour, ensuite, montrer que quelle que soit la façon dont on s’y est pris on aura toujours omis de mentionner au moins un réel, à savoir celui qui se trouve sur la fameuse diagonale que vous connaissez et dont on aura, par exemple, augmenté chaque chiffre d’une unité, le $9$ donnant $0$.
Une remarque. Pour que le raisonnement soit complet, ne doit-on pas démontrer également que la liste $L’$ des « réels omis » est elle-même un ensemble infini non dénombrable ?
En effet, si $L’$ est dénombrable, alors on a :
$L$ (dénombrable) + $L’$ (dénombrable) = ensemble dénombrable.
D’où, les deux questions :
1) Ma remarque est-elle fondée ?
2) Si oui, comment démontrer que la liste $L’$ est elle-même un ensemble infini non dénombrable ?
Merci d’avance.
Réponses
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Si l'on veut seulement montrer qu'il n'y a pas de surjection $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$, alors l'argument diagonal suffit. Cet argument montre bien qu'à toute fonction $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$, on peut associer de manière quasi canonique un nombre $\widetilde{f}$ qui n'est pas dans son image. D'où en particulier $f$ n'est pas surjective. Fin de la preuve.
Donc pas nécessaire de fignoler les conséquences pour confirmer la preuve, il n'y a pas de fuite dans l'usine mathématique! Sinon on n'aurait jamais fini de prouver quelque chose.
Si l'on veut montrer que l'ensemble (pas la liste du coup!) $L'$ est indénombrable, alors on peut utiliser ta remarque: $L'$ n'est pas dénombrable, car sinon $L \cup L' = \mathbb{R}$ le serait, or a déjà montré que ce n'était pas le cas. -
La démonstration permet justement de dire que $L’$ est non dénombrable.
Le point « logique » clef de la démonstration est le suivant :
S’il existe une énumération des réels, alors on obtient une contradiction.
On en tire la conclusion suivante : il n’existe pas d’énumération des réels.
Donc l’ensemble (infini) des réels est indénombrable.
Si je voulais utiliser ton argument sur « la somme de deux dénombrables » je dirais plutôt que :
$\mathbb R=\mathbb Q \cup L’$ (je ne sais pas si l’union est disjointe mais ce n’est pas important)
Comme $\mathbb R$ est indénombrable, alors $L’$ est indénombrable.
Édit : oups, Palabra, tu as été plus rapide. -
Dom et Palabra, grand merci pour vos interventions convaincantes.
-
Bonjour,
Je me permets de revenir sur ce sujet intriguant (pendant que d'autres sont à la plage).
L'intervalle des réels $[0, 1]$ est visiblement un ensemble infini. En effet, on y trouve déjà rien que :
$0,1$
$0,01$
$0,001$
$0,0001$
$0,00001$
etc. (à l'infini)
Donc, si on vient à penser que cet ensemble possède, sans forcément les nommer, un premier élément, un deuxième, un troisième, un quatrième, un cinquième, etc. (à l'infini), ne peut-on pas considérer que cet ensemble est en bijection avec $\mathbb{N}$ ?
Je devine que la réponse sera non.
Mais j'aimerais savoir pourquoi.
Encore merci d'avance. -
Le pourquoi est donné par l'argument diagonal de Cantor. Quelle que soit la manière dont tu énumères les uns après les autres les éléments de $[0, 1]$, ta liste sera toujours incomplète. Autrement dit, il n'existe aucune surjection de $\mathbb N$ dans $[0, 1]$.
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Bonjour, Poirot, et merci d’intervenir.
Dans mon message précédent, je n’énumère pas les éléments de l’ensemble, car je sais que je ne peux pas les énumérer. Je dis simplement qu’il y a un premier élément, un deuxième, un troisième, etc. (à l’infini).
Donc, d’après mon message précédent, les éléments de l’intervalle des réels $[0, 1]$ seraient non énumérables, oui, mais quand même en bijection avec $\mathbb{N}$, puisqu’il y en a un premier, un deuxième, un troisième, etc. (à l’infini).
Finalement, on s’en fiche de ne pas pouvoir les énumérer. C’est juste amusant à remarquer. Ce qui compte, c’est qu’il y en ait un premier, un deuxième (distinct du premier), un troisième (distinct des deux premiers), etc. (à l’infini). Donc, qu’ils soient en bijection avec $\mathbb{N}$.
Non ?
Pardon à l’avance. -
Bonjour,
On peut effectivement énumérer des éléments de [0;1], par exemple
le premier =0
le deuxième = .01
le troisième = 0.001
etc.
Mais ce que démontre l'argument de la diagonale c'est qu'aucune de ces énumérations ne peut épuiser [0; 1] (pas surjectif) -
Tu dis qu'il y a un premier élément, un second, un troisième, etc. Comment sais-tu que ce "procédé" remplit tout $[0, 1]$ ? Le fait est qu'un tel procédé ne peut pas remplir $[0, 1]$, c'est précisément l'argument diagonal qui le montre.
Quant à ta phrase "non énumérable mais en bijection avec $\mathbb N$" c'est une belle ânerie : si un ensemble $E$ est en bijection avec $\mathbb N$ (disons via la bijection $f : \mathbb N \to E$), alors ses éléments sont bien évidemment énumérables. Il suffit de dire que le premier élément est $f(1)$, le second est $f(2)$, etc. -
@Sneg : ton idée d'énumération est bonne, elle correspond à ce qu'on appelle l'existence d'un bon ordre sur [0,1]. C'est possible en supposant l'axiome du choix.
Mais il va se passer la chose suivante : mettons que le 1er soit 0, le 2ème 0,1 etc. Tu vois qu'avec cette méthode tu ne vas manger que les nombres qui s'écrivent 0,000.......1. Ainsi tu as déjà épuisé $\mathbb{N}$. Mais il reste de la place, donc il te faut en choisir un autre, mettons 0,2. Celui-là, on l'appellera le $\omega ^{i\grave{e}me}$. Le suivant, mettons 0,02, sera le $(\omega +1)^{i\grave{e}me}$, etc. Il reste encore de la place, donc tu choisis par exemple 0,3, qui aura le rang $\omega + \omega$, noté aussi $\omega \times 2$. Et ainsi de suite : $\omega \times 3$, $\omega \times n$, $\omega \times \omega = \omega^2$, $\omega^3$, $\omega^n$, $\omega^{\omega}$ et blablabla.
Mais ce que dit Cantor, c'est que quand tu auras fini de manger [0,1] l'ensemble de tous les "rangs" ainsi obtenu ne sera pas en bijection avec $\mathbb{N}$. Il sera "strictement plus gros" en taille. -
Sneg,
tu n'as utilisé pour raisonner, que des décimaux. Mais les décimaux de [0;1] forment un ensemble dénombrable. De même pour les nombres rationnels de [0;1]. Cependant, en donner une énumération demande une vraie réflexion (tu devrais essayer ...). Mais avec ces nombres, tu as laissé de côté l'essentiel des réels entre 0 et 1 : Au sens de la mesure de Lebesgue, ces deux ensembles sont de mesure nulle (*) : Quel que soit le réel $\varepsilon >0$, on peut définir une réunion d'intervalles ouverts contenant tous les rationnels entre 0 et 1 de longueur totale inférieure à $\varepsilon$.
Le défaut de ce que tu racontes est le flou total de ton "(à l’infini)" dans " puisqu’il y en a un premier, un deuxième, un troisième, etc. (à l’infini). ". La preuve de Cantor est justement que ton procédé n'épuise pas [0;1]; ce n'est pas en jouant sur les mots (le mot "infini" est bien pratique, il veut tout dire et rien de précis, si on sort du vocabulaire mathématique) que tu comprendras vraiment.
Cordialement -
ne peut-on pas considérer que cet ensemble est en bijection avec $\mathbb{N}$?
"Vous considérez? j'en suis fort aise. Eh bien! démontrez maintenant."
Plus sérieusement, les démonstrations de théorèmes dans des articles de maths finissent rarement par "on peut donc considérer que le résultat est démontré":-D. Ca éveillerait immédiatement des soupçons...
Tant que tu ne démontres pas qu'il existe une telle bijection, les gens ne considéreront pas qu'il en existe. Et chercher une façon de transformer ton intuition en preuve est une bonne façon de te rendre compte des faits non justifiés sur lesquels cette intuition se basait. -
Ma remarque est-elle fondée ?
Je n'ai pas tout lu, mais non, elle n'est pas fondée du tout pour te répondre de manière explicite. Peut-être pourrais-tu témoigner de ce qui t'a poussé à la faire?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Merci à tous pour vos interventions.
Voici ma façon, naïve (fautive), de mettre l'ensemble des réels compris entre $0$ et $1$ en bijection avec $\mathbb{N}$.
De l'ensemble des réels compris entre $0$ et $1$ :
je commence par extraire un premier élément, que je relie par une flèche au nombre $1$ de $\mathbb{N}$.
Puis j'extrais un deuxième élément, que je relie par une flèche au nombre $2$ de $\mathbb{N}$.
Puis j'extrais un troisième élément, que je relie par une flèche au nombre $3$ de $\mathbb{N}$.
Etc.
Au bout d'un moment infiniment long, Cantor me signale que j'ai oublié de répertorier des réels dans ma liste et, bon prince, il m'aide à les chercher.
Chacun de ces nombres supplémentaires trouvés sera alors relié par une flèche à un nombre de $\mathbb{N}$ (en ordre croissant, bien sûr).
Cantor étant nettement plus doué que moi, il n'arrête pas de trouver des nombres à ajouter. Encore et encore et encore. Cela finit par ressembler au mouvement perpétuel. Cantor, qui a une vision plus claire que moi de la situation, me dit au bout du compte ... qu'on n'en aura jamais fini.
"Peu importe !", me dis-je, car chaque nouveau nombre trouvé pourra être relié par une flèche à un nombre de $\mathbb{N}$ ... puisque $\mathbb{N}$ est infini lui aussi ! -
Oui, et ça sort du dénombrable au bout d'un moment si ça peut répondre à ton souci. On va dire que tu présentes des dispositions d'esprit qui feraient que tu apprécierais l'axoime AD (axiome de détermination) pour faire des maths (il contredit violemment l'axome du choix mais est excitant).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
@Sneg lorsque tu dis : Chacun de ces nombres supplémentaires trouvés sera alors relié par une flèche à un nombre de $\mathbb{N}$ (en ordre croissant, bien sûr)
tu veux dire que tu prends un "nouveau" $\mathbb{N}$ ?
Je demande car tu ne peux pas prendre le "même" $\mathbb{N}$ qu'au début car lui il a tous ses nombre entiers déjà atteints par une flèche. -
Sneg,
je n'ai pas compris ce que tu fais :
"Au bout d'un moment infiniment long, Cantor me signale que j'ai oublié de répertorier des réels dans ma liste et, bon prince, il m'aide à les chercher.
Chacun de ces nombres supplémentaires trouvés sera alors relié par une flèche à un nombre de $\mathbb N$ (en ordre croissant, bien sûr). " ??
Tu les relies à des nombres déjà utilisés ? Par exemple tu recommences à 0 ? Ou bien tu imagines faussement (*) que tu n'avais pas épuisé $\mathbb N$ ?
Cordialement.
NB : Là encore, tu restes dans le flou, puisque tu ne mathématises pas ! Rester dans le flou permet d'éviter d'accepter la rigueur des preuves mathématiques, mais c'est en fait une tricherie (= prétendre jouer sans accepter d'appliquer les règles).
(*) Car pour pouvoir utiliser l'idée de Cantor, il faut avoir fini d'utiliser les nombres entiers, il n'en reste plus. -
Bonsoir,
Si je veux « compter » les nombres pairs, je vais utiliser tout $\mathbb{N}$. Cela va-t-il m’empêcher de « compter » en plus les nombres impairs ?
(On ne mathématise qu’une fois que les idées floues prennent forme.) -
Non. Mais quelle que soit la manière dont tu peux essayer de "compter" les éléments de $[0, 1]$, tu n'y arriveras pas. Pour la millième fois, il suffit de considérer l'argument diagonal.
-
Poirot,
Je comprends le principe de la diagonale de Cantor.
Mais on peut toujours s’amuser à chercher les nombres que l’on a omis de dénombrer, pour les ajouter à la liste prétendument exhaustive.
Si vous dites que cela est impossible, c’est inutile de poursuivre, en effet. -
Mais c'est précisément cet argument qui te montre que c'est impossible. Celui-ci montre que quelle que soit ta manière d'énumérer les éléments de $[0, 1]$, il t'en manquera toujours.
Tu commences par une énumération. Cantor te dit qu'il te manque au moins un élément. Tu l'ajoutes à ton énumération ? Il t'en manque toujours, etc. Mais il ne faut pas imaginer un processus itératif, où l'on pourrait se dire que l'on finit par tout remplir en recommençant un nombre (éventuellement infini) de fois. L'argument diagonal contredit ton rêve d'un seul coup : il n'existe aucune manière de dénombrer les éléments de $[0, 1]$. -
Manifestement, Sneg, tu n'as pas compris la preuve (*). Elle se moque de la façon dont tu as énuméré les réels, elle montre que de toute façon, il en manquera.
Ton comportement intellectuel est le même que celui du gamin sur la plage qui veut vider la mer dans un trou du sable. On lui dit "ton eau repasse à travers le sable et revient dans la mer", mais il continue en pensant qu'à force de continuer il n'y aura plus d'eau dans la mer.
Cordialement.
(*) "Je comprends le principe" n'est pas "Je comprends la preuve". -
Mais, si, gerard0, j’ai compris qu’il manquera des nombres à mon énumération prétendument exhaustive.
Mais, comme dans « l’hôtel de Hilbert » où l’on peut accueillir une infinité de voyageurs supplémentaires bien qu’il soit déjà complet, ne peut-on pas ajouter une infinité de nombres à ma liste prétendument exhaustive ? -
Oui, mais en quantité dénombrable !
Dans l'hôtel de Hilbert (dénombrable) si un "nombre" non dénombrable de clients se présentent vous ne pourrez pas les loger -
Lis mon précédent message. L'argument montre qu'il ne sert à rien de "recommencer" autant de fois que tu souhaites le faire.
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Etant donné un ensemble $E$, il y a équivalence entre
1°) il existe une fonction $f:E\to E$ injective et non surjective
2°) il existe une fonction injective de $\N$ dans $E$.
On dit des ensembles qui vérifient une de ces deux propriétés qu'ils sont infinis.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Voilà un argument intéressant, Médiat. Merci.
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Merci à tous !
Je vais réfléchir à vos arguments. -
De mon téléphone. Si tu veux un mot de vocabulaire tu es en train de mettre en poésie la quête ordinale de Aleph1.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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@Christophe : ce que tu dis correspond à ce que je disais dans le post n°10 du fil. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2277624,2277776#msg-2277776
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@Martial: pas telle qu'elle est énoncée:
A) étant donnés $E$ un ensemble et $f:E \to E$ une injection non surjective, on considère $u\in E \backslash f(E)$ puis on définit une fonction $g$ par récurrence (*) de $\N$ dans $E$ en posant $g(0):=u$ et $g(n+1):=f(g(n))$. $g$ est injective (sinon soit $m$ le plus petit entier tel qu'il existe $n\neq m$ tel que $g(m) \neq g(n)$. Alors $m\neq 0$ et $n\geq 0$ (car $u\notin im(f)$ mais $g(\N \backslash \{0\}) \subseteq im(f)$); il existe $m',n'$ enties tels que $m'+1=m$, $n'+1=n$ et alors $f(g(n'))=f(g(m'))$ et donc $g(m')=g(n')$ ce qui contredit la minimalité de $m$).
Soit $F$ un ensemble et $h: \N \to F$ une injection. Soit $k:F \to F$ définie par $k(x):=x$ si $x\notin im(h)$ et $k(h(n)):=h(n+1)$ pour tout $n$. Alors $k$ est injective et son image ne contient pas $h(0)$.
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S'il y a besoin d'une version de l'axiome du choix, ce serait plutôt pour montrer que cette définition d'infini équivaut à "il n'existe aucune surjection d'un ordinal fini dans l'ensemble en question".
[size=x-small](*) $g$ est la réunion de toutes les fonctions inductives partielles, où par fonction inductive partielle nous voulons dire une fonction $d$ définie sur un ordinal fini $\alpha$, telle que $d(\emptyset)=u$ et pour tout $x\in \alpha$, $x+1=\alpha$ ou bien $d(x+1)=f(d(x))$. La vérification de ce qu'on obtient une fonction définie sur tout $\N$ (= $\omega$) en faisant ça est sans surprise mais devrait être mieux connue je pense.[/size]Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Sneg :
"Mais, comme dans « l’hôtel de Hilbert » où l’on peut accueillir une infinité de voyageurs supplémentaires bien qu’il soit déjà complet, ne peut-on pas ajouter une infinité de nombres à ma liste prétendument exhaustive ?"
Oui, et alors ??
Finalement, je ne sais pas de quoi tu veux parler ... ni même si tu sais ce que tu dis : Tu dis qu'on peut rajouter des nombres à un ensemble dénombrable de nombres. Oui, tout le monde le sait et toi aussi. Mais ça change quoi ? Dans tous les cas, tu obtiens un ensemble dénombrable (la réunion de deux ensembles finis ou dénombrables et finie ou dénombrable. Et l'argument de cantor montre que tu n'épuises pas les nombres entre 0 et 1. Et la théorie des ensembles montre que tu as oublié "presque tous les nombres entre 0 et 1".
Donc que veux-tu dire ???? -
@Foys : tu as entièrement raison. Comme d'hab j'ai voulu aller trop vite.
Ta condition 1) est connue sous la dénomination "$E$ est Dedekind-infini". Et effectivement, infini au sens de Dedekind est équivalent à contenir une copie de $\omega$.
Par contre, si on prend comme définition "un ensemble est infini s'il n'est équipotent à aucun entier", alors tout ensemble Dedekind-infini est infini (dans ZF), mais la réciproque est conséquence de ZF+$AC_{\omega}$.
Pour la petite histoire je me suis longtemps demandé si la condition suffisante était aussi nécessaire. En d'autres termes, ZF + "tout ensemble infini contient une copie de $\omega$" entraîne-t-elle $AC_{\omega}$ ? En fait il s'avère que c'est faux, voir Jech : "The axiom of choice". Attention, c'est du sport !
Le théorème dont tu parles dans ta note (*) est connu sous le nom de "théorème de récursion" ou "théorème de définition par récurrence". Il admet plusieurs généralisations, par exemple la définition par récurrence transfinie sur les ordinaux, ou même sur une relation bien fondée et localement petite (set-like). C'est ce dernier théorème qui est à la base du collapse de Mostowski. A noter que les preuves sont toutes basées sur le même principe : on bricole à partir de solutions partielles. -
Gerard0 a écrit : "Donc, que veux-tu dire ????"
D'abord, gerard0, en mathématiques, je n'affirme jamais rien. Je ne me le permettrais pas. (Sauf au moment du jeu Hocus Pocus, auquel claude quitté en personne a eu la gentillesse de s'intéresser de très près. Avant de prendre la fuite ? J'espère que non.)
Sur ce forum, j'exprime juste ce que je pense sur un sujet mathématique précis, afin de savoir si ce que je pense peut être compris et approuvé par les vrais mathématiciens, dont je ne fais pas partie.
Un exemple concret : Ce qui suit est-il compréhensible et acceptable, aux yeux des mathématiciens ?
Pour "compter" (un, deux, trois, ...) les nombres qu'il y a dans un ensemble infini, il faut pouvoir les "écrire".
Par exemple, je peux compter les nombres pairs qu'il y a dans $\mathbb{N}$ parce que je peux (en théorie) les écrire tous grâce à la méthode suivante :
Je commence par prendre le $0$, auquel j'ajoute $2$ : $0+2=2$. Ensuite, j'ajoute toujours $2$ à chaque somme obtenue, ce qui donne :
$0$
$0+2=2$
$2+2=4$
$4+2=6$
$6+2=8$
etc.
Idem pour les nombres impairs qu'il y a dans $\mathbb{N}$, sauf que je commence par prendre le $1$ et pas le $0$.
Il se fait qu'on peut aussi compter les nombres rationnels car on peut, encore une fois, les écrire tous (en théorie).
Une méthode employée pour ce faire est celle d'un tableau à double entrée, une entrée pour le numérateur, une pour le dénominateur...(Je n'entre pas dans les détails que vous connaissez mieux que moi.)
En revanche, avec les nombres irrationnels, surgit un problème : On ne peut pas les compter parce qu'on ne peut pas les écrire. En tout cas, dans l'état actuel de mes connaissances/mon ignorance, je ne connais aucun moyen permettant de les écrire tous (en théorie). Pas de tableau à double entrée, par exemple. Et si on veut les écrire les uns en-dessous des autres, comme les choses à acheter dans une liste de commissions, l'argument diagonal nous fait comprendre que c'est peine perdue.
Dire qu'on peut "compter" les éléments d'un ensemble $E$ infini, revient à dire que $E$ est en bijection avec $\mathbb{N}$.
Dire qu'on ne peut pas "compter" les éléments d'un ensemble $E'$ infini, revient à dire que $E'$ n'est pas en bijection avec $\mathbb{N}$.
Ainsi, l'ensemble des réels compris entre $0$ et $1$ n'est pas en bijection avec $\mathbb{N}$ parce qu'on ne peut pas compter les nombres irrationnels qui en font partie, vu qu'on ne connait pas de méthode permettant de les écrire tous (en théorie).
(Ici, "compter" est synonyme de "dénombrer", mais je n'aime pas l'expression "dénombrer des nombres".)
Merci d'avance. -
Sneg a écrit:... je n'affirme jamais rien.
Sur ce forum, j'exprime juste ce que je pense sur un sujet mathématique précis, afin de savoir si ce que je pense peut être compris et approuvé par les vrais mathématiciens, dont je ne fais pas partie.
Comme je ne te connais pas, comme ce que tu penses n'a donc aucun intérêt pour moi, je ne vois aucun intérêt à continuer, d'autant que tu ne fais aucun effort pour avancer. Juste tu racontes ta vie !!
Finalement, tu faisais du flood !
Fil de discussion à fermer ? -
Franchement je ne pense pas que Sneg fasse du flood. J'ai juste l'impression qu'elle aborde une théorie mathématique (la théorie des ensembles) pour la première fois. Donc elle se pose des questions sur des résultats qui ne sont pas triviaux.
@Sneg en ce qui concerne ton message ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2277624,2278086#msg-2278086 je trouve que ça résume bien les choses à part la phrase "vu qu'on ne connait pas de méthode permettant de les écrire tous (en théorie)" qui n'est pas très rigoureuse et qui tout en restant "vague" devrait plutôt être "vu qu'il n'existe pas de méthode permettant de les écrire tous" à mon avis. -
Libre à toi de te faire des illusions ... pour moi, j'ai fortement l'impression d'avoir déjà lu la même chose (sur un autre forum peut-être), avec déjà le refus de mathématiser.
" Je l'ai pas lu, je l'ai pas vu... mais j'en ai entendu causer" (rubrique de Cavana sur Charlie hebdo). Quand on en reste là, on ne vient pas comprendre, seulement parler de soi. C'est bien une forme de flood ...
Cordialement. -
Décidément, les mathématiciens et moi, c’est l’incommunicabilité totale.
Parler de moi, surtout à des inconnus, ne m’est d’aucun intérêt.
Au risque de passer encore une fois pour quelqu'un qui raconte sa vie, voici les faits :
Je lis des livres de mathématiques par goût mais, afin de savoir si j’ai bien compris, je m’efforce d’expliquer à d’autres personnes et avec d’autres mots ce que j’ai lu.
Ces autres personnes, c’est vous.
Et pourquoi avec d’autres mots ? Parce que c’est le meilleur moyen de savoir si on a compris une matière. Je pourrais effectivement me contenter de répéter par cœur ce que j’ai lu, mais cela ne présenterait à mes yeux aucune utilité.
Le problème, c’est que le formalisme a pris tellement d’importance, en mathématiques, que les mathématiciens ne sont pas du tout friands du genre d’exercice de traduction « avec d’autres mots ».
Est-ce Gauss qui aurait écrit en latin : « Les notions priment sur les notations » ? En tout cas, c’était bien dit.
J’ignore pourquoi, mais claude quitté s’est toujours efforcé de comprendre mon charabia. Il lui est même arrivé d’y trouver du sens.
Une occasion supplémentaire d’exprimer ici ma tristesse face à son départ. Mais au fond, comme je le comprends ! -
Sneg, je suivais exactement la même démarche que toi. Mais ça revient à expliquer à des mathématiciens ce qu’ils savent déjà et qu’ils expriment en quelques phrases lapidaires ! Il en résulte d’éventuelles tensions, confusions, malentendus etc…
Cela a toutefois un intérêt si l’on arrive à rédiger l’explication la plus claire et pédagogique du net sur un sujet mathématique précis. D’éventuels curieux ayant abouti ici, par le plus grand des hasards, peuvent y trouver leur compte !
PS: décidément, Claude Quitté a fait beaucoup de malheureux en se désinscrivant !
… -
Je comprends l’idée de vulgariser pour savoir si on s’est approprié la notion.
Cependant il faut l’annoncer comme cela.
Ensuite, toute vulgarisation a ses défauts.
Claude, si tu nous regardes, prends une bise en passant ;-) -
Merci, df, pour ton gentil message auquel j'adhère complètement.
Merci aussi à raoul.S, pour ton message qui est parfait. Y compris ta remarque sur ma phrase "vu qu'on ne connait pas de méthode permettant de les écrire tous (en théorie)."
Voilà un sujet bien plus intéressant à traiter que ma petite personne : Existerait-il un moyen encore inédit d'écrire tous les nombres irrationnels compris dans un intervalle ?
Dans un premier jet, j'avais écrit comme toi : " "vu qu'il n'existe pas de méthode permettant de les écrire tous (en théorie)." Puis, je me suis ravisée. Pour deux raisons :
1) parce que j'ai pensé que pendant longtemps les mathématiciens ont considéré aussi qu'il n'existe pas de nombre non nul dont le carré soit négatif.
2) par goût pour la provoc :-), au vu de la raison 1).
Celles et ceux qui ont lu ma petite histoire où je me mets en scène avec Cantor, quelques messages plus haut, auront pu voir en filigrane que j'avais imaginé que Cantor avait réalisé le tour de force de passer outre l'impossibilité d'écrire tous les nombres irrationnels compris dans un intervalle.
Manifestement, ce n'est pas le genre de choses à faire lire à certains mathématiciens. :-) -
Pour la quinzième fois, l'argument diagonal montre qu'effectivement il n'existe pas de manière d'énumérer tous les réels de $[0, 1]$. Ce n'est pas un aveu d'échec du style "on n'y est pas encore arrivé", il y a une preuve tout ce qu'il y a de plus formelle de la non existence d'une telle énumération. Je ne comprends pas pourquoi tu continues à insister sur la possibilité de l'existence d'une telle chose.
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Existerait-il un moyen encore inédit d'écrire tous les nombres irrationnels compris dans un intervalle ?
-
Tout à coup, Poirot, j’ai une fulgurance, et me range à ton avis.
Merci pour la précision que tu apportes, Médiat. -
Toute à mon émotion d’avoir compris, j’ai oublié de vous remercier chaleureusement pour votre patience.
C’est ce que je fais dans ce message : merci beaucoup ! -
Un retour de Claude Quitté serait souhaitable, il rendait beaucoup de gens heureux sur ce forum j'espère qu'il n'avait pas complètement rendu irréversible son oeuvre (en détruisant son pseudo par exemple)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Bonjour,
Oui, je crois que nous sommes nombreux à souhaiter son retour.
Cordialement,
Rescassol -
Sorry j'ai un gap : qui était claude quitté ? Que racontait-il ? Que préconisait-il ? Si quelqu'un peut éclairer ma lanterne...
-
Je viens de tomber sur une vidéo.
Puis un peu par hasard je tombe sur le fil de discussion… d’il y a 15 ans qui évoque cette vidéo.
Sûrement les premiers messages de ce forum merveilleux.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,293392,293392#msg-293392
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Bonjour!
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