Calcul d'intégrale
Bonjour
J'ai un calcul d'intégrale à faire mais ça fait longtemps que je n'en ai pas fait.
$a$ est un nombre réel. Voici le calcul que j'ai fait.
$\displaystyle \int_{-e}^{-1} a/x dx = a [\ln(x)]_{-e}^{-1}$
Et je pense qu'il y a une erreur dans ce calcul. Est-ce que vous pourriez m'aider à corriger mon erreur ?
Merci d'avance.
J'ai un calcul d'intégrale à faire mais ça fait longtemps que je n'en ai pas fait.
$a$ est un nombre réel. Voici le calcul que j'ai fait.
$\displaystyle \int_{-e}^{-1} a/x dx = a [\ln(x)]_{-e}^{-1}$
Et je pense qu'il y a une erreur dans ce calcul. Est-ce que vous pourriez m'aider à corriger mon erreur ?
Merci d'avance.
Réponses
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Il y en a plusieurs : $\ln$ n'est pas définie sur les réels négatifs, et tes bornes changent sans qu'on sache pourquoi. Avec le changement de variable $y=-x$, tu vas pouvoir écrire ton intégrale avec des bornes entre lesquelles $\ln$ est effectivement la primitive de $\dfrac{1}{x}$, je te laisse te charger du reste.
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Je viens de me rendre compte pour les bornes, c'était une erreur de ma part.
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Merci.
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Au passage, tu peux vérifier la grande majorité des calculs d'intégrale avec WolframAlpha.
Si tu entres "integral of $f(x)$ from $a$ to $b$" dans la barre de recherche, il te calculera $\displaystyle \int_a^b f(t)dt$. C'est utile pour voir si on raconte des bêtises ! -
Sur le site Wolfram Alpha comment tu fais pour écrire les bornes d'une intégrale?
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Homo Topi comment tu as fait pour trouver ce changement de variable (y=-x)?
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J'ai expliqué comment entrer un calcul d'intégrale dans WolframAlpha.
Pour le changement de variable, c'est tout bête : tu veux calculer $\displaystyle \int_{-e}^{-1} \dfrac{a}{x}dx$. Par linéarité, on a $\displaystyle \int_{-e}^{-1} \dfrac{a}{x}dx = a\int_{-e}^{-1} \dfrac{1}{x}dx$.
$\dfrac{1}{x}$, c'est une fonction que je connais, je sais que la* primitive est $\ln$ mais $\ln$ n'est pas définie sur l'intervalle $[-e,-1]$ : du coup, écrire $\bigg[ \ln(x)\bigg]_{-e}^{-1}$, c'est n'importe quoi : $\ln(-e)-\ln(-1)$, ça ne veut pas dire grand-chose.
Je connais l'allure du graphe de $\dfrac{1}{x}$ : je sais que c'est une fonction impaire (pour rappel : c'est-à-dire telle que $f(-x)=-f(x)$), donc avec cette information-là, je peux me ramener à une intégrale sur le segment $[1,e]$. A ce stade-là, il est utile de faire un dessin : représenter $\dfrac{1}{x}$, l'aire sous la courbe pour $x \in [-e,-1]$, l'aire sous la courbe pour $x \in [1,e]$ : on voit bien que les deux aires sont les mêmes (au signe près, forcément). Comment je passe de $[-e,-1]$ à $[1,e]$ ? Tout bêtement en multipliant par $-1$. Alors allons-y, on multiplie la variable par $-1$ : on pose $y=-x$.
Je te laisse vérifier qu'avec ce changement-là, on trouve bien $\displaystyle \int_{-e}^{-1} \dfrac{1}{x}dx = -\int_1^e \dfrac{1}{y}dy$. Après, $\displaystyle \int_1^e \dfrac{1}{y}dy$, on la calcule avec le logarithme, bien sûr.
*les autres membres du forum : oui, je sais. -
Merci Homo Topi.
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*topalg. Peux-tu donner une primitive de $1/x$ sur $\mathbb R^*$ ?
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les primitives sont ln(x)+constante
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Non ! Pas sur $\mathbb R^{*-}$. ln n'y est pas défini.
Trouve les primitives sur $\mathbb R^{*-}$ déjà.
Cordialement.
NB : la question de L2M est un piège classique. -
*gerard0 : Ce n'est pas un piège.
La question est directe. Une des primitives de $x\mapsto 1/x$ sur $\mathbb R^*$ est $x\mapsto ln|x|$.
On peut écrire alors
$\displaystyle \int_{-e}^{-1} a/x dx = a [\ln|x|]_{-e}^{-1} = ...$ -
Donc il y avait une erreur dans mon premier message?
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* Si les bornes sont dans $\mathbb R^{+*}$ tu prends $x\mapsto \ln x$ comme primitive de $x\mapsto 1/x$.
* Si les bornes sont dans $\mathbb R^{-*}$ tu prends $x\mapsto \ln |x| $ ou $\ln (-x)$ comme primitive de $x\mapsto 1/x$.
* En général. Les primitives de $x\mapsto 1/x$ sur $\mathbb R^{*}$ sont $x\mapsto \ln |x| + c$ telle que $c$ est une constante dans $\mathbb R$. -
Merci L2M.
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Si, L2M, c'est bien un piège, et tu y es tombé :L2M a écrit:* En général. Les primitives de $x\mapsto 1/x$ sur $\mathbb R^{*}$ sont $x\mapsto \ln |x| + c$ telle que $c$ est une constante dans $\mathbb R$.
$f(x) = \ln(-x)+ C_1$ sur $\mathbb R^{*-}$
$f(x) = \ln(x)+ C_2$ sur $\mathbb R^{*+}$
Mais on a rarement besoin d'une primitive ailleurs que sur un seul intervalle.
Cordialement. -
Bonsoir *gerard0 : Peux-tu me dire pourquoi j'y suis tombé ?
C'est quoi l'erreur mathématique dans cette phrase :
Les primitives de $x\mapsto 1/x$ sur $\mathbb R^{*}$ sont $x\mapsto \ln |x| + c$ telle que $c$ est une constante dans $\mathbb R$.
Ok, Je suis tout à fait d'accord. -
Mais si on cherche une seule et toute simple primitive de $x\mapsto 1/x$ sur $\mathbb R^{*}$ on peut choisir $x\mapsto \ln |x|$.
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