Fonctions de Rademacher
Bonjour,
Dans l'exercice en pièce jointe, j'arrive à montrer que le système est bien orthonormé, mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'est pas complet. (Je suis quasiment sûr que dans ce contexte, dire que le système est complet signifie qu'il engendre un sous-espace dense dans $H$).
Dans un espace de Hilbert, un sous-espace est dense si et seulement si son orthogonal est nul. J'ai donc essayé de construire (vainement) une fonction non nulle orthogonale à toutes les fonctions $\phi_n$.
Si quelqu'un sait faire l'exercice, j'aimerais bien avoir une indication plutôt qu'une réponse complète.
Merci :-)
Dans l'exercice en pièce jointe, j'arrive à montrer que le système est bien orthonormé, mais je n'arrive pas à montrer qu'il n'est pas complet. (Je suis quasiment sûr que dans ce contexte, dire que le système est complet signifie qu'il engendre un sous-espace dense dans $H$).
Dans un espace de Hilbert, un sous-espace est dense si et seulement si son orthogonal est nul. J'ai donc essayé de construire (vainement) une fonction non nulle orthogonale à toutes les fonctions $\phi_n$.
Si quelqu'un sait faire l'exercice, j'aimerais bien avoir une indication plutôt qu'une réponse complète.
Merci :-)
Réponses
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Bonjour,
Voici une famille de fonctions cousine qui est, elle, complète : [fr.wikipedia.org]. En voyant ça, on comprend ce qui manque à ta famille de fonctions pour être complète : c'est que les $\varphi_m$ ont une action "uniforme" sur le segment et ne peuvent donc pas prendre en compte le comportement varié à différents endroits de la fonction $L^2$ qu'on voudrait approcher. Donc on peut par exemple chercher une fonction $L^2$ qui n'a pas "le même profil" sur $[0,\frac12]$ et $[\frac12,1]$. -
En effet, j'ai dessiné quelques graphes de ces fonctions (n=2,n=4 ci-joints) avec Python et on voit qu'elles vérifient pour $n\geq 1$ et $x < \frac{1}{2}$ $\phi_n(1/2-x)=-\phi_n(1/2+x)$, ce que j'arrive à démontrer en écrivant la décomposition dyadique de $x$.
La fonction $\phi_0$ est constante, égale à 1 (et ne vérifie donc pas l'égalité précédente)
On vérifie alors que la fonction $\phi_1\phi_2$ est orthogonale à tout le monde, et n'est pas presque partout nulle:
En effet, pour tout entier naturel $n$ on a $\phi_1\phi_2\phi_n(1/2-x)=-\phi_1\phi_2\phi_n(1/2+x)$ et par conséquent l'intégrale de $\phi_1\phi_2\phi_n$ sur $[0,1[$ est nulle, i.e. $\phi_1\phi_2$ est orthogonale à $\phi_n$, quel que soit n.
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Bonjour!
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