Fonction caractéristique d'une probabilité

Bonjour
Dans mon cours j'ai la définition de la fonction caractéristique d'une probabilité. Mais après dans un exo de cours on me demande d'expliciter les fonctions caractéristiques des probabilités binomiale et de Poisson et je n'arrive pas à le faire. Du coup, est-ce qu'on pourrait m'expliquer comment faire pour une de ces deux probabilités ?

Merci d'avance.

Réponses

  • Bonjour.

    A priori, tu as à appliquer la (les) définition(s). L'as-tu fait ?

    Cordialement.
  • Voici la définition que j'ai dans mon cours (je ne sais pas écrire le symbole intégrale).
    Définition. L'application
    $$\phi_{\mu} :u \in \mathbb{R^{n}} \mapsto \phi_{\mu}(u)=\int_{\mathbb{R^{n}}} \exp(i<x,u>)d\mu
    $$ s'appelle la fonction caractéristique de $\mu$.

    Je rencontre un problème quand je veux appliquer la définition : j'ai vu dans le corrigé de l'exo, pour la probabilité binomiale, qu'à l'intérieur de l'intégrale, il n'y avait pas $\exp(i<x,u>)$ (où $<,>$ désigne le produit scalaire) mais qu'il était noté $\exp(itx)$. À part ça, j'arrive à comprendre le corrigé.

    [En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
  • OK.

    Donc il faut que tu explicites ce calcul dans le cas où n=1, puis que tu choisisses une mesure adaptée. A moins que dans ton cours, il y ait une définition spécifique pour les variables discrètes. Ce que font de nombreux cours.

    Cordialement.
  • Tu as $n=1$ dans tes exemples, le produit scalaire $\langle x, u \rangle$ est une simple multiplication $ux$. Ensuite, il n'y a plus qu'à connaître les lois demandées et calculer l'intégrale correspondante, bon travail !
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