Espace normé séparable
Bonjour,
Soit $H$ un espace vectoriel réel normé de dimension infinie.
On dit que $H$ est séparable s'il existe une suite dense dans $H$.
Je cherche à savoir si cela est équivalent à :
"Il existe un sous-espace vectoriel de $H$ à base dénombrable qui est dense dans $H$".
Un sens est immédiat (si une suite est dense, le sous-espace vectoriel qu'elle engendre est dense).
Pour l'autre sens, étant donné un sous-espace vectoriel $G$ dense dans $H$, à base dénombrable $(e_1,\ldots,e_n,\ldots)$, $\epsilon > 0$ et $x \in H$, alors en utilisant la densité de $G$ dans $H$, la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, et l'inégalité triangulaire on obtient l'existence d'un entier naturel $n$ et de $n$ rationnels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que: $||x-\sum_{k=1}^n \lambda_k e_k|| < \epsilon$, ce qui veut dire que $vect_{\mathbb{Q}}(e_1,\ldots,e_n,\ldots )$ est dense dans $H$.
De plus, $vect_{\mathbb{Q}}(e_1,\ldots ,e_n,\ldots )=\bigcup_{n\geq 1}vect_{\mathbb{Q}}(e_1,\ldots , e_n)$ qui est donc dénombrable comme réunion dénombrable d'ensembles dénombrables.
Je voudrais m'assurer que je n'ai pas fait d'erreurs, parce que je n'ai pas trouvé ce résultat dans mon cours d'analyse fonctionnelle.
Merci.
Soit $H$ un espace vectoriel réel normé de dimension infinie.
On dit que $H$ est séparable s'il existe une suite dense dans $H$.
Je cherche à savoir si cela est équivalent à :
"Il existe un sous-espace vectoriel de $H$ à base dénombrable qui est dense dans $H$".
Un sens est immédiat (si une suite est dense, le sous-espace vectoriel qu'elle engendre est dense).
Pour l'autre sens, étant donné un sous-espace vectoriel $G$ dense dans $H$, à base dénombrable $(e_1,\ldots,e_n,\ldots)$, $\epsilon > 0$ et $x \in H$, alors en utilisant la densité de $G$ dans $H$, la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, et l'inégalité triangulaire on obtient l'existence d'un entier naturel $n$ et de $n$ rationnels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que: $||x-\sum_{k=1}^n \lambda_k e_k|| < \epsilon$, ce qui veut dire que $vect_{\mathbb{Q}}(e_1,\ldots,e_n,\ldots )$ est dense dans $H$.
De plus, $vect_{\mathbb{Q}}(e_1,\ldots ,e_n,\ldots )=\bigcup_{n\geq 1}vect_{\mathbb{Q}}(e_1,\ldots , e_n)$ qui est donc dénombrable comme réunion dénombrable d'ensembles dénombrables.
Je voudrais m'assurer que je n'ai pas fait d'erreurs, parce que je n'ai pas trouvé ce résultat dans mon cours d'analyse fonctionnelle.
Merci.
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