Continuité uniforme

Bonsoir
Aujourd'hui j'ai passé l'oral d'analyse à l'agrég (marocaine).
Un des examinateurs m'a posé la question suivante (sans attendre une preuve détaillée au tableau).
- Si une fonction de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ est continue et tend vers $0$ en $\pm \infty$ est-ce qu'on peut dire qu'elle est bornée ?
J'ai répondu oui, et qu'on pouvait essentiellement majorer $|f|$ sur un compact et en dehors.
Ensuite il me demande.
- Est-ce qu'on peut dire qu'elle est uniformément continue ?
J'ai répondu que non, en disant qu'elle pourrait avoir des variations "rapides" au voisinage de l'infini même si elle tend vers $0$. L'examinateur n'avait pas l'air d'être de cet avis, prétendant que le fait qu'elle tend vers $0$ impose qu'elle varie "lentement".
Je ne suis pas très convaincu mais je n'arrive pas à trouver de contre-exemple, qu'en pensez-vous ?

EDIT. Je pense qu'au final elle est effectivement uniformément continue : sans doute la fatigue et le fait que les questions sont posées sans que j'aie vraiment le temps de réfléchir.
Soit $\epsilon >0$
On peut trouver $M>0$ tel que $|f|<\epsilon/2$ en dehors de $]{-}M,M[$ on applique alors le théorème de Heine sur $[{-}M,M]$ et on se sert de $|f(x)-f(y)| \leq |f(x)| + |f(y)| \leq \epsilon$ en dehors.

Réponses

  • Bonsoir,
    Soit $\epsilon>0$.
    Soit $M\in\mathbb{R}$, tel que pour tout $|x|>M$, $|f(x)|<\epsilon /2$
    Appliquer le théorème de Heine à un segment un peu plus large que $[-M;M]$ m'a l'air d'être suffisant pour montrer l'uniforme continuité
  • Oui en effet, je viens de m'en rendre compte merci.
  • Je précise mon message : on majore $f$ sur le segment grâce à monsieur Heine, et on la majore ailleurs grâce à la convergence vers 0.
  • Pour $ \epsilon $ fixé, on prend $A$ tel que hors de $[{-}A; A]$, on ait $ |f(x)| \leq \epsilon $.
    Dans le segment il y a continuité uniforme et hors du segment je te laisse conclure.

    Edit : dépassé. J'en ai marre d'écrire sur téléphone :-(
  • C'est ça.
    Devant un jury qui attend des réponses instantanées ça devient extrêmement difficile de réfléchir.
    Si ils n'ont pas de réponse après une vingtaine de secondes, on passe à autre chose :-D
  • En fait, il faut appliquer le théorème de Heine à $[-M-1;M+1]$ par exemple, ça ne fonctionne pas si on l'applique juste à $[-M;M]$, car il faudra majorer $|f(x)-f(y)|$ pour $x$ dans le segment et $y$ en dehors.
  • Grenouille factorielle: pour être plus rigoureux ,je pense qu'il faut intercaler f(M) :|f(x)-f(y)| <|f(x)-f(m)|+|f(m)-f(y)|< 2* eps/2,.
  • Bonjour,
    Soit $g=f\circ \tan$ définie de $]-\frac\pi2,\frac\pi2[$ vers $\Bbb R$. Elle se prolonge continûment sur le segment $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ par $g(-\frac\pi2) = g(\frac\pi2) = 0$. Donc $g$ est uniformément continue. Puis $\arctan$ est uniformément continue (car 1-lipschitzienne), donc $f=g\circ \arctan$ est uniformément continue par composition de fonctions uniformément continues.
  • Originale cette dernière solution qui évite les $\varepsilon$.
  • Bonjour,
    Corrigé à la suite de la réponse ultérieure de Calli
    Je ne suis pas trop d'accord avec tout ce qui vient d'être dit.:
    Une fonction $\R \to \R$, continue, de limite nulle en $\pm\infty$ n'est pas nécessairement uniformément continue: lipschitziennne sur $\R,$ , comme le montre l'exemple de la fonction $f$ ainsi définie:
    $f$ est partout nulle, sauf sur chacun des intervalles $I_n =\left[n-\dfrac 1{n^2}; n+\dfrac 1{n^2}\right], \quad n\in \N, n\geqslant 2,$ où elle est affine par morceaux avec: $f(n)=\dfrac 1n, \: f\left(n-\dfrac 1{n^2}\right)= f\left(n+\dfrac 1{n^2}\right)=0.$
  • LOU16, j'ai l'impression que tu confonds uniformément continu et lipschitzien. Par exemple, $x\mapsto \sqrt x$ est uniformément continue mais pas lipschitzienne.
    Pour ta fonction, on a, pour tout $\varepsilon>0$, en choisissant un entier $n>\frac1\varepsilon$ : $\forall (x,y)\in\Bbb R^2, |x-y|< \frac1{n^2} \Rightarrow |f(x)-f(y)| \leqslant \frac1n < \varepsilon$.
  • @Calli

    Tu as complètement raison.J'ai dit une bêtise et me suis débrouillé pour emmêler ces ceux notions, que je sais pourtant distinctes. "Ma" fonction est bien uniformément continue sur $\R$ comme le sont toutes celles qui sont continues et de limite nulle en $+\infty$., Désolé pour cette sortie peu inspirée.
  • Loin de la question de Lee sin, si $f$ est continue bornée, est-elle forcément uniformément continue ?
  • Non. Par exemple $x\mapsto \sin(x^2)$.
  • Ok, Raoult.
  • Attention à ne pas confondre Raoul.S avec RaoulT.
  • Moui je ne suis pas très fan de Raoult.
  • hhhhhhh, je m'excuse ,vraiment !, Monsieur Raoul !.
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