Nombre double-transpositions de ${\frak S}_n$
Bonjour,
je cherche à calculer le nombre de produits de deux transposition disjointes dans $\mathfrak S_{n}$. Notons $\delta_{n}$ ce nombre. Pour cela j'ai commencé petit avec $\delta_{1}=\delta_{2}=\delta_{3}=0$. Pour $\delta_{4}$ ça se calcule en les énumérant on trouve 3. Pour $\delta_{5}$, j'ai noté $\tau$ une telle double transposition. Donc il existe $i\in \{1;\ldots;5\}$ tel que $i\notin \mathrm{supp}(\tau)$. Donc cela consiste à choisir 4 nombres et on se retrouve avec $\mathfrak S_{4}$, puis il y a 5 façons de choisir $i$. Donc $\delta_{5}=15$. Est-ce correct ?
Pour la généralisation, on considère qu'il y a $n-4$ éléments qui ne sont pas dans le support de $\tau$. je trouve $\delta_{n}=n(n-1)\cdots 5\delta_{4}$. Est-ce correct ?
Merci.
je cherche à calculer le nombre de produits de deux transposition disjointes dans $\mathfrak S_{n}$. Notons $\delta_{n}$ ce nombre. Pour cela j'ai commencé petit avec $\delta_{1}=\delta_{2}=\delta_{3}=0$. Pour $\delta_{4}$ ça se calcule en les énumérant on trouve 3. Pour $\delta_{5}$, j'ai noté $\tau$ une telle double transposition. Donc il existe $i\in \{1;\ldots;5\}$ tel que $i\notin \mathrm{supp}(\tau)$. Donc cela consiste à choisir 4 nombres et on se retrouve avec $\mathfrak S_{4}$, puis il y a 5 façons de choisir $i$. Donc $\delta_{5}=15$. Est-ce correct ?
Pour la généralisation, on considère qu'il y a $n-4$ éléments qui ne sont pas dans le support de $\tau$. je trouve $\delta_{n}=n(n-1)\cdots 5\delta_{4}$. Est-ce correct ?
Merci.
Réponses
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Bonjour Amédé
Dans $\mathfrak S_n$, tu choisis la première transposition de $\binom n2$ manières possibles, puis la seconde de $\binom{n-2}2$ manières, et tu remarques que chaque $(a\,b)(c\,d)$ est comptée deux fois, une fois $(a\,b)(c\,d)$, une autre fois $(c\,d)(a\,b)$. D'où le résultat
$$\delta_n=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}8.
$$ Alain -
C'est vrai! Merci AD.
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Remarque très intéressante : un et un seul des deux nombres $n$ et $n-1$ est pair (disons $n-a$ avec $a\in\{0,1\}$) et un des deux nombres $n-a$ et $n-a-2$ est congru à $2$ modulo $4$, l'autre à $0$ modulo $4$ donc $(n-a)(n-a-2)$ et a fortiori $n(n-1)(n-2)(n-3)$ est bien divisible par $8$.
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Bonjour tout le monde
La formule donnée par AD s'écrit aussi $\delta_n = 3 \times \binom{n}{4}$. -
Merci beaucoup
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Bonjour!
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