Une suite implicite

Bonjour,
j’ai un petit souci avec un exercice. On peut démontrer que
\[\forall n\in\N^\ast,\quad \exists! x_n\in[0,1],\quad x_n^n =1-x_n.
\] De plus, la suite $(x_n)$ est croissante et elle admet le développement asymptotique
\[x_n = 1 - \dfrac{\ln(n)}{n} + o\Big(\dfrac{\ln(n)}{n} \Big).
\] Je m’y prends peut-être mal, mais je n’arrive pas à établir le développement ci-dessus sans avoir une idée de la forme du second terme. Je sais que certains intervenants du forum sont beaucoup plus friands que moi de ce type de problème. Merci !

Réponses

  • Partant de $x_n=1-y_n$ avec $\lim_{n\to\infty}y_n=0^+$, on écrit \[n\ln x_n=\ln(1-x_n),\] c'est-à-dire \[n\ln(1-y_n)=\ln y_n.\] Vu que $\ln(1-y_n)\sim -y_n$, cela donne \[\tag{1}ny_n\sim -\ln y_n,\] d'où l'existence de $(\epsilon_n)$ telle que \[\frac{y_n}{-\ln y_n}=\frac1n(1+\epsilon_n)\quad\text{et}\quad \lim_{n\to\infty}\epsilon_n=0.\] On applique le logarithme : \[\ln y_n-\ln\ln\frac1{y_n}=-\ln n+\ln(1+\epsilon_n),\] d'où $\ln y_n\sim-\ln n$ et la conclusion découle de (1).
  • Merci! En fait, je m'embrouille à chaque fois dans la dernière ligne quand j'essaye de le faire.
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