Factorielles non sommes de trois carrés

depasse

Bonsoir
Quel est l'écart maximal entre deux termes consécutifs de la suite croissante $s$ des entiers naturels dont la factorielle n'est pas une somme de trois carrés ?
Telle est ma question. La réponse, je l'ignore. Je sais seulement que Lagarias sait montrer qu'il existe $C \in\mathbb N$ tel que pour tout $n\in\mathbb N,\   [n,n+C]$ contient une valeur de $s$.
Sais-je jamais, cette question pourrait plaire à quelqu'un(e).
Amicalement
Paul

depasse

Bonsoir à tous ceux qui ne m'ont pas répondu, autrement dit à tous !
Soit $s$ la suite croissante des entiers naturels dont la factorielle n'est pas somme de trois carrés. Je dis que la différence maximale entre deux termes consécutifs de $s$ est $25$.
Je serais tout aussi ravi qu'on m'approuve ou me contredise !
Cordialement
Paul

Dreamer

Bonsoir.
Désolé pour ne pas avoir répondu plus tôt.
Les nombres qui ne sont pas somme de trois carrés sont de la forme $7+8k$, avec k naturel.
Or, à partir du deuxième terme, la suite des factorielles est paire, donc somme de trois carrés.
Il n'y a donc pas de factorielle d'entier qui ne puisse pas s'exprimer comme somme de trois carrés.
La suite $s$ est donc vide.
À bientôt. 

depasse

Merci Dreamer mais il existe des nombres pairs non somme de trois carrés. Par exemple $28$.

depasse

Je me doutais qu'"on" risquait de me rajouter un $s$ à mon "serai". C'était pourtant bien un futur. Bien à toi, Alain.

[Je serai tout aussi ravi ; nous serons tout aussi ravis.

Je serais tout aussi ravi ; nous serions tout aussi ravis.

La seconde possibilité me semblait plus appropriée ? AD]

Rescassol

Bonjour
Les nombres qui ne sont pas somme de trois carrés sont de la forme $4^n(8k+7)$, donc Dreamer avait "presque" raison.
Cordialement,
Rescassol

depasse

J'aurais mis un $s$ après "ravi" quand ta phrase commence par "nous". Mais je m'aurais peut-être gourré !

[Sapristi, tu as raison, j'ai corrigé. AD]

Dreamer

Bonjour.
Sapristi, c'était un peu trop facile.
Je vais chercher s'il existe une factorielle qui ne puisse pas s'exprimer comme somme de 3 carrés au plus, cela me semble dur à trouver de prime abord.
À bientôt. 

Chaurien

$10!=3~628~800=4^4 \times 14~175$

$14~175 \equiv 7 \pmod 8$.

Math Coss

Les premiers sont $(10, 12, 24, 25, 48, 49, 54, 60, 78, 91, 96, 97)$, ce qui conduit à l'OEIS, laquelle pointe sur cet article de Deshouillers et Luca.

Dreamer

Merci Chaurien et Math Coss, à trop vouloir me précipiter (et pour quelle raison, de surcroît) je me suis pris les pieds dans le tapis.

À bientôt. 

Rescassol

Bonjour
En tous cas pour répondre à Piteux_gore, $647−612=35$, ce qui dépasse (pour la première fois) nettement $25$.
Cordialement,
Rescassol

depasse

Merci Math Coss pour ce lien. J'aurais dû y penser

En fait, j'avais cherché dans OEIS la suite des parties impaires modulo 8 des factorielles (1,1,1,3,3,7,5...)et ne l'ai pas trouvée. Je crois avoir montré que, dans cette suite, pour tout $i \in \{1,3,5,7\}$ l'écart maximal entre deux occurrences successives de $i$ est $20$.

Plus précisément, si $n^*$ désigne la partie impaire modulo $8$ de $n!$, alors,
pour tout $m$ naturel,
(il n'existe pas $k \in [[1,19]]$ tel que $m^*=(m+k)^*)$ 
  équivaut à
($m^*=(m+20)^*=(m+23)^*=(m+25)^*$) et ( $m$ congru à $102$ modulo $128$).

Le fait est que si $m$ est congru à $102$ modulo $128$, alors les parités des $2$-valuations de $(m+20)!$ et $(m+23)!$ sont contraires à celle de $m!$ tandis que celles de $m!$ et de $(m+25)!$ sont les mêmes.

D'où mon $25$.

Il manque quelques arguments que je crois détenir, mais je crains d'endormir mes lecteurs !
À qui le souhaitera, je les donnerai avec plaisir.
Je me sentais bien seul sur ce problème !
Merci à vous.
Paul

lourrran

Je lisais cette conversation depuis le début, et j'avais mal interprété un message.
Les nombres qui ne sont pas somme de trois carrés sont de la forme $4^n(8k+7)$.
En lisant ça, je comprenais :  Être de la forme  $4^n(8k+7)$ est une condition nécessaire, mais pas suffisante.
Et en fait, après quelques recherches, c'est une condition nécessaire, mais aussi suffisante.
Les nombres qui ne sont pas somme de trois carrés sont tous les nombres de la forme $4^n(8k+7)$.

depasse

Damned !
Merci Rescassol, m'aurais-tu confondu avec Piteux_gore !
Ben, parmi les arguments que je me proposais de donner à qui le souhaiterait, l'un au moins est sûrement fallacieux!
J'y retourne, mais pas immédiatement !
Amicalement
Paul

Rescassol

Bonjour
Pardon, Paul, à l'origine, je me suis trompé de fil, puis j'ai oublié de changer le pseudo après.
Cordialement,
Rescassol

depasse

Bonsoir et meilleure année à tous

A nouveau merci à Math Coss qui m'a offert généreusement le texte de Deshouillers et Luca (que je n'ai, hélas, pas encore lu!) ainsi qu'à Rescassol qui m'a fait comprendre mon erreur...grossière!

Je maintiens mon message jusqu'à "d'où mon $25$ "exclu.

Mon erreur est d'avoir cru, sottement, qu'il suffisait de regarder quel était le plus petit $n$ supérieur à "mon" $m+20$ tel que $n!$ et $m!$, tout à la fois, aient la même partie impaire ($7$) modulo $8$ et soient multiples d'une puissance de $4$. 

Rescassol (et moi) prouvons donc seulement que si $(m,n)$ est un "bon" couple, alors il existe $k<20$ tel que la partie impaire de $(m+k)!$ est $7$ modulo $8$. Piètre consolation!

Il s'agit de "croiser" la suite des parties impaires des $n!$ modulo $8$ et celle des parités des $2$-valuations des $n!$.
A part noter que la parité de la $2$-valuation de $n!$ est celle du nombre de $1$ dans l'écriture binaire de $[\frac{n}{2}]$, à savoir $t_{[\frac{n}{2}]}$ où $t$ est la suite de Thue-Morse étudiée sous toutes les coutures, je ne vois pas comment continuer!

La lecture de Deshouillers et Luca peut-être?

Cordialement
Paul