Intégrale d'une dérivée
Bonjour,
Je cherche une preuve détaillée du résultat en pièce jointe.
J'ai déjà rencontré ce théorème lors d'un partiel il y a 5 ans et je me rappelle que l'idée était de considérer la suite de fonctions $f_n: x \mapsto n(F(x+1/n)-F(x))$ qui converge simplement vers $F'$ (ce qui justifie la mesurabilité de $F'$), puis d'appliquer le théorème de convergence dominée.
Toutefois, j'aimerais bien avoir une référence pour être sûr de ne pas passer à côté d'une éventuelle subtilité.
Sinon, une question à part: est ce que le terme "Lebesgue-intégrable" signifie seulement mesurable ou bien on impose en plus que l'intégrale de la valeur absolue soit finie ?
Merci.
Je cherche une preuve détaillée du résultat en pièce jointe.
J'ai déjà rencontré ce théorème lors d'un partiel il y a 5 ans et je me rappelle que l'idée était de considérer la suite de fonctions $f_n: x \mapsto n(F(x+1/n)-F(x))$ qui converge simplement vers $F'$ (ce qui justifie la mesurabilité de $F'$), puis d'appliquer le théorème de convergence dominée.
Toutefois, j'aimerais bien avoir une référence pour être sûr de ne pas passer à côté d'une éventuelle subtilité.
Sinon, une question à part: est ce que le terme "Lebesgue-intégrable" signifie seulement mesurable ou bien on impose en plus que l'intégrale de la valeur absolue soit finie ?
Merci.
Réponses
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Si mesurable suffisait à être intégrable, on n'emploierait pas un terme supplémentaire ! L'intégrabilité au sens de Lebesgue veut bien dire que l'intégrale de la valeur absolue de la fonction est finie.
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Bonjour.
Un petite parenthèse (pardonnez-moi de ne pas répondre sur le fond) : Lebesgue-intégrable n'est pas français, c'est de l'anglais utilisé par flemme dans certains cours. -
On devrait dire intégrable pour la mesure de Lebesgue mais cette formulation est longue à écrire... On abrège donc en $\mu$-intégrable (ou $\mu$-mesurable quand on veut seulement parler de mesurabilité au sens des mesures extérieures).
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Bonjour!
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