(Co-)sinus hyperbolique

Bonsoir,
Je suis curieux de savoir pourquoi les fonctions $x \mapsto \frac{\exp(x)+\exp(-x)}{2}$ et $x \mapsto \frac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}$ sont qualifiées d'hyperboliques.
Quel est le lien avec l'hyperbole ?
Je me doute qu'il y a une relation avec la géométrie hyperbolique mais je n'y connais rien et j'aimerais bien que quelqu'un m'explique assez simplement l'analogie entre ((co)-sinus,cercle) et ((co)-sinus hyperbolique, hyperbole)

Réponses

  • Bonsoir,
    $t\mapsto (\cosh t,\sinh t)$ est la paramétrisation d'une moitié d'hyperbole d'équation $y^2-x^2=1$ ($t\mapsto (-\cosh t,\sinh t)$ est l'autre moitié).
    De même que $t\mapsto (\cos t,\sin t)$ est la paramétrisation d'un cercle.

    Edit : C'est plutôt $x^2-y^2=1$.
  • Merci !
  • C'est $x^2 - y^2 = 1$, mais ce n'est qu'un détail.
  • Pour Lee sin

    $(Lee \sin)^2 + (Lee \cos)^2 = (Lee)(\cos^2 + \sin^2) = (Lee)^2 = (L(e^2)^2 $ avec $L$ est la fonction $L$ de Rogers $L(x)=\frac{6}{\pi^2}(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2} +\frac{1}{2}\ln(x)\ln(1-x))$

    La fonction L de Rogers
  • Bien vu $\ \displaystyle e \sum_{1 \leq n} (-1)^{n+1} \frac{2^{2n} (2^{2n} - 1)}{(2n)!} B_{2n} \Big(\frac{ e^{e} + e^{-e}}{2} - 2\pi\Big)^{2n-1},$ avec $B_{2n}$ les nombres de Bernoulli.
  • Effectivement, j'ai interverti $x$ et $y$ par erreur.
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