Antécédent d'une matrice par l'exponentielle
Réponses
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Si $A=e^B$, alors $1=\det A=e^{Tr(B)}$.
$B$ est à coefficients réels, donc $Tr(B)=0$, donc la somme des valeurs propres de $B$ est nulle. Donc soit les valeurs propres de $B$ sont distinctes, soit elles sont toutes les deux nulles.
Si elles sont distinctes alors $B$ est diagonalisable, donc $A=e^B$ aussi, ce qui n'est pas le cas.
Si elles sont toutes les deux nulles, alors $B=P\begin{pmatrix} 0 & \lambda \\ 0 & 0 \end{pmatrix}P^{-1}$, donc les valeurs propres de $e^B$ sont toutes les deux $1$, ce n'est pas le cas non plus. -
Exact, on peut aussi remarquer que B commute avec A, donc stabilise le sous-espace propre de A associé à la valeur propre -1, qui est une droite. B admet donc une valeur propre réelle a et le polynôme caractéristique de B est donc sous forme (X-a)(X-b) avec a+b = Tr(B) donc b est réel.
On en déduit que B est trigonalisable (en tant que matrice réelle), donc les valeurs propres de exp(B) sont strictement positives (ce sont exp(a) et exp(b)), ce qui est absurde. -
Oui, effectivement.
On peut aussi poser la même question pour $A=\begin{pmatrix} -1 & a &b&c\\ 0 & -1 &d&e\\ 0&0& -1 &f \\ 0&0&0 &-1\end{pmatrix},$ selon les valeurs de $a,b,c,d,e,f \in \R$
Je ne connais pas la réponse. -
Je note $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonique de $\mathbb{R}^4$ et je commence par traiter le cas où tout ce qui est au dessus de la diagonale est non nul.
On remarque alors que pour pour $1\leq i \leq 4$ on a $vect(e_1,\ldots,e_i) = \ker(A+I_4)^i$
Si $B$ est telle que $e^B=A,\ $ $B$ commute avec $A$ comme tout à l'heure donc stabilise les sous-espaces caractéristiques et donc $B$ est triangulaire supérieure et on conclut comme avant que $B$ ne peut exister.
La flemme de voir ce qui se passe lorsque les coefficients au dessus de la diagonale ne sont pas tous nuls. -
Ah, oui, bravo !
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Bonjour Marco
tu cherches donc une matrice carrée X de format 4x4 telle que $exp(X) = A$ soit donc $X = ln(A)$
avec A matrice carrée triangulaire supérieure de format 4x4 possédant une seule valeur propre r = - 1
tu connais un développement taylorien de f(A) arrêté à la dérivée troisième
au "voisinage" de $A = r.I$ (I est la matrice unitaire de format 4x4)
de la fonction définie f, dérivable de variable une matrice A carrée triangulaire de format 4x4 de valeur propre unique r
$f(A) = I.f(r) + (A - rI).f'(r) + (A - rI)^2\frac{f''(r)}{2!} + (A - rI)^3\frac{f'''(r)}{3!}$
si f(x) = lnx alors f'(x) = 1/x et $f''(x) = - 1/x^2$ et $f'''(x) = 2/x^3$ et finalement pour r = - 1
avec $f(- 1) = i\pi + 2ki\pi$ nombre complexe (on se limitera à k = 0) on obtient une matrice X complexe :
$$X = lnA = I(i\pi) - (A + I) - \frac{1}{2}(A + I)^2 - \frac{1}{3}(A + I)^3$$
Cordialement -
Merci pour le l'exercice !
Par hasard est-ce que vous savez comment on calcule la différentielle de l'exponentielle en $0$ ? Parce que je pense qu'on va me poser la question j'aimerais me préparer pour savoir quoi répondre. -
Hello! En faisant le développement en série on a tout simplement :
$\exp(0 + H) = I_n + H + o(H)$ -
Oui, 0, comme toutes les homothéties d'ailleurs ont le bon goût de commuter avec tout le monde, ça se complique nettement quand on cherche la différentielle ailleurs (voir Rouvière si intéressé)
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Merci Jean Lismonde.
Mais, l'exercice était de trouver une matrice à coefficients réels. -
Ah c'est facile tant mieux ! Je pensais que c'était ardu. :)o
Je viens de regarder la preuve du Rouvière, il y a en deux, exercice 39 et 101, le 39 consiste à dériver sous le signe somme et à regarder si la série des dérivées CU sur tout compact. Du coup on doit différencier l'application puissance $p$.
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Bonjour!
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