Régularité de l'exponentielle matricielle

Lee sin

Bonjour,
Je travaille un développement d'agrég dont le but est d'établir une formule générale pour la différentielle de l'exponentielle matricielle. Pour cela, il est admis que l'exponentielle est de classe $C^2$ (et même $C^\infty$) mais je me demande bien comment le justifier, ou au moins avoir une idée car si c'est trop long je ne le ferais pas dans un oral.
Je trouve cet argument sur internet (cf pièce jointe), j'espère que c'est une blague ?!

Grenouille factorielle

Bonjour,
Il faut avoir le bon soupçon. Il a sûrement entamé un nettoyage de son clavier après avoir écrit $C^\infty$ puis les mots "car polynomiale" se sont ajoutés par pure coïncidence.

Lee sin

@Grenouille Factorielle:
Je connais ce théorème pour les fonctions de la variable réelle.
De quel théorème parlez vous plus précisément ?

Math Coss

Il est possible en effet que ce morceau « car polynomiale » ait été écrit pendant le sommeil de l'auteur.

Je hasarde une autre explication : pour toute matrice $A$, il existe un polynôme $f$ tel que $\exp A=f(A)$. En effet, chacune des sommes $\sum_{k=0}^n\frac{A^k}{k!}$ appartient à l'espace $\C[A]=\{g(A),\ g\in\C[X]\}$ des polynômes en $A$, qui est fermé en tant que sous-espace vectoriel de l'espace des matrices qui est de dimension finie. Toutefois, on ne peut pas en déduire le caractère polynomial de l'exponentiel car le polynôme $f$ dépend de $A$.

Grenouille factorielle

@Lee sin
J'ai évidemment dit une bêtise, on ne montre pas si facilement le caractère $C^\infty$ de l'exponentielle de matrice, je m'en excuse, j'ai modifié le message pour éviter d'induire des lecteurs en erreur.

Lee sin

@Grenouille factorielle : Ce n'était pas une mauvaise idée, le théorème que vous aviez évoqué se généralise aux fonctions de plusieurs variables et permet d'établir la classe $C^1$ (cf pièce jointe), je suis encore entrain de comprendre tout ça avant de voir si ça peut se généraliser pour les classes d'ordre quelconque.

Grenouille factorielle

S'il se généralise bien, on ne peut pas en dire autant de son application car il n'est pas trivial que la série des énièmes différentielles des $f_k$ va converger normalement. Chercher à exprimer celles-ci pour les majorer serait un exercice à part entière.