avis arithmétique agrégation

abed

Bonjour,

Etant parfaitement inculte en théorie des nombres, j'aimerais savoir selon vous ce qui est indispensable de connaître pour l'agrégation, le programme officiel n'étant pas vraiment détaillé.
Plus précisément, quelles sont les bases à avoir pour ne pas être ridicule sur des leçons style "nombres premiers. applications" ou "équations diophantiennes ..."
Je serais aussi intéressé d'avoir des références élémentaires sur ces questions, étant donné que tous les livres de théorie des nombres que j'ai vu étaient trop "généraux".
Pour ceux qui ne l'auraient pas encore compris, je n'aime vraiment pas la théorie des nombres (désolé pour les spécialistes de ce forum) et je n'ai vraiment pas envie (et je n'aurais certainement pas le temps) de m'investir la dedans, mais bon je passe l'agreg cette année ...

Merci pour vos avis.

borde

Je dirais (tous en langue française) :
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<BR><B>Théorie élémentaire</B>.
<BR>
<BR>1. <I>250 problèmes de théorie élémentaire des nombres</I>, par Sierpinski, Jacques Gabay.
<BR>
<BR>2. 1001 problèmes de théorie classique des nombres, par De Koninck et Mercier, chez Ellipses (2004).
<BR>
<BR>3. Exercices de maths sup, algèbre tome 1, par Monier, chez Dunod.
<BR>
<BR><B>Textes avancés</B> (donc spécialisés).
<BR>
<BR>1. <I>Les nombres premiers</I> Par Mendès-France et Tenenbaum, collection "Que sais-je?", chez PUF.
<BR>
<BR>2. <I>Théorie algébrique des nombres</I>, par Samuel, chez Hermann.
<BR>
<BR>3. <I>Les nombres premiers</I>, par Ellison (notes de Mendès-France), chez Hermann (difficile à trouver, celui-là).
<BR>
<BR>4. <I>Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres</I>, par Tenenbaum, chez SMF (1995). Délicat, et difficile à aborder en première lecture. Nécessite des grandes connaissances en analyse complexe. Demande investissement, etc.
<BR>
<BR>Borde.<BR>

Volny DE PASCALE0

Bonsoir,

Les références que j'ai appréciées :
Le bouquin de Serre (chez Hermann, si je ne m'abuse)
Le Parent (faire une recherche sur le forum) le premier chapitre est très abordable, puis ça commence à grimper...
Le Francinou et Gianella (chez Dunod, exercice pour l'agreg tome 1 ou 2 je crois)

Il paraît que l'on ne peut pas faire l'impasse sur le Hardy and Wright, ce qui expliquerait que je n'ai pas eu l'oral ;-)

Amicalement
Volny

Alban

La théorie des nombres est quand même connexe à celle des anneaux et corps. Je pense au théorème des 2 carrés des choses classiques de l'agreg comme cela.
Donc je mettrai le Perrin dans les références.

Ben

Bah, il n'y a aucun bouquin indispensable, sinon ça se saurait. Quant au bouquin de Tennenbaum, ce n'est vraiment pas le genre de chose que je m'amuserais à ammener à l'agreg !
A mentionner aussi : Théorie des nombres de Duverney, traite de pas mal de choses ... Sinon, je trouve que les leçons d'algèbre se pretent assez bien à une approche algorithmique, alors pourquoi ne pas aller voir du coté des livres de calcul formel.

Richard André-Jeannin1

"Quant au bouquin de Tennenbaum, ce n'est vraiment pas le genre de chose que je m'amuserai à amener à l'agreg !"

N'oubliez pas, Ben, que c'est Borde qui conseille le livre (chacun voit midi à sa fenêtre, comme disait ma grand-mère).

Richard André-Jeannin1

Volny parlait de Hardy et Wright. C'est évidemment une mine, mais à manipuler avec précaution (c'est normal avec une mine). Les méthodes ne correspondent pas toujours aux normes en vigueur (sauf erreur de ma part, je n'ai jamais lu une expression du genre "Z/nZ" dans H-W).

borde

Deux petites choses, juste histoire de faire croire que je réagis...
<BR>
<BR><B>Pour Ben</B> : tu auras remarqué sans doute les précautions que j'ai mises à côté du Tenenbaum. Cependant, Tenenbaum est actuellement l'un des plus grands spécialistes mondial de théorie des nombres. Son "Que sais-je ?" est une version simplifiée de son livre de cours. D'autre part, dans celui-ci, on trouve (dès le début) des outils indispensables à tout agrégatif (genre "sommation partielle", que j'utilise systématiquement, ou autres...). Un coup d'oeil peut aider à comprendre certaines choses en arithmétique.
<BR>
<BR><B>Pour Volny</B> : j'avais hésité à mettre le Parent, car son esprit est plutôt (me semble-t-il) de proposer des examens de DEA, plutôt qu'agreg, mais bon, ça se discute. En revanche, il me paraît excessif de dire que "le premier chapitre est abordable" : il s'agit en fait de théorie analytique des nombres comme en fait...Tenenbaum dans son livre, on y trouve même le difficile théorème de Rényi dedans (il faut s'y connaître). Ce chapitre a été concocté par Jean-Louis Nicolas, autre grand spécialiste du domaine.
<BR>
<BR>Pour finir : je suis d'accord avec RAJ concernant le Hardy and Wright. Si Abed veut rester au niveau de la théorie élémentaire des nombres, alors les livres de De Koninck et Mercier, complétés avec celui (ou ceux) de Sierpinski, sont ce qui se fait de mieux.
<BR>
<BR>Maintenant, chacun d'entre nous réagis en fonction de ses propres expériences et connaissances.
<BR>
<BR>Borde.<BR>

Volny DE PASCALE0

Ok, j'aurais du dire <B>relativement</B> abordable (par rapport à la suite)
<BR>
<BR>Amicalement
<BR>Volny<BR><BR><BR>

Ben

Pour Borde : j'avais eu l'occasion d'essayer feuilleter le premier tome de la série, enfin le début consacré aux méthodes générales, en licence car je m'intéressais au théorème des nombres premiers et je voulais essayer d'en savoir un peu plus sur la théorie des nombres en général ... je me suis vite rabattu sur un autre livre ! Peut etre qu'en connaissant un poil plus d'analyse complexe et d'arithmétique maintenant j'en tirerais plus de profit, et encore ... Après, le livre de Samuel me semble plus abordable en ayant fait un cours de théorie des nombres, et encore ... (pour l'avoir ouvert en maitrise, je pense que j'aurais du m'accrocher un peu plus)

abed

Merci a tous pour les références, je vais y jeter un coup d'oeil dès que possible
Sinon, j'aimerais bien avoir votre avis sur ce qu'il faut savoir (les thèmes généraux) pour l'agreg, comme par exemple des choses mystérieuses que j'entends parfois comme fractions continues, approximations diophantiennes ou bien formes quadratiques binaires.

borde

Salut à tout le monde,

On est tous d'accord sur le fond, et, à chaque fois que je parle du Tenenbaum, je précise toujours que ce livre est d'un abord très difficile (il m'a fallu plus d'un an pour percer ses mystères). C'est un peu comme lorsqu'un aventurier découvre un nouveau territoire : s'il veut bien le comprendre, il doit s'y intégrer, connaître les us et coutumes, les gens, les traditions, les façons de parler. Pour la théorie analytique des nombres, et aussi la théorie algébrique des nombres, c'est exactement pareil : une fois que l'on y est bien intégré, que l'on prend du recul, certaines choses deviennent limpides, et on peut en faire profiter... un forum de maths, par exemple !

:-)

Pour Abed : les exemples que tu cites peuvent éventuellement servir comme exemples dans une leçon d'oral, voire sujet d'approfondissement, mais ne peuvent à eux seuls être un socle de travail pour un sujet d'écrit, me semble-t-il. En tout cas, je vois les choses comme cela...

Borde.