Matrices diagonales semblables
Si $D=diag(\lambda_1,...\lambda_n)$ (les coefficients sont dans un corps quelconque, mais pas nécessairement distincts) combien y a-t-il de matrices diagonales semblables à $D$ ?
Il y a des cas évidents, comme lorsque les coefficients sont tous égaux et il y en a un seul, ou que lorsqu'ils sont tous distincts et il y en a $n!$ mais je n'arrive pas à généraliser.
Il y a des cas évidents, comme lorsque les coefficients sont tous égaux et il y en a un seul, ou que lorsqu'ils sont tous distincts et il y en a $n!$ mais je n'arrive pas à généraliser.
Réponses
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Bonjour,
C'est un problème d'anagramme. Ça se dénombre avec les coefficients multinomiaux.
Si tu as une valeur propre de multiplicité 3, une de 5 et une de 2, la réponse est $\binom{10}{3,5,2} = \frac{10!}{3!5!2!}$.
Remarque : c'est le coefficient dans $(a+b+c)^{10}$ du monôme $a^3 \times b^5 \times c^2$. -
Bon, une matrice diagonale semblable à $D$ est de la forme $diag(\lambda_{\sigma(1)},...,\lambda_{\sigma(n)})$ pour une certaine permutation $\sigma$, ça tu l'as repéré.
Ce qu'on va faire c'est qu'on va appeler $X$ cet ensemble (des matrices diagonales semblables à $D$), et on va faire agir $\mathfrak S_n$ dessus.
Le premier point nous dit que cette action est transitive, en particulier elle est isomorphe à $\mathfrak S_n/Stab(D)$, et donc son cardinal est le même. Il suffit donc de déterminer le cardinal de $Stab(D)$.
Bon, quitte à réordonner, ce qui ne change pas la classe de conjugaison de $Stab$, on peut supposer que les $\lambda_i$ sont organisés par blocs : $\lambda_1 = \cdots = \lambda_k \neq \lambda_{k+1}$ etc. Enfin je les regroupe selon qui est égal quoi.
Dans ce cas, le stabilisateur est exactement constitué des permutations qui ne bougent qu'à l'intérieur de ces petits blocs, en d'autres termes c'est un produit $\mathfrak S_{n_1}\times \cdots \times \mathfrak S_{n_k}$, où les $n_i$ sont les nombres de fois que chaque $\lambda$ apparaît.
En d'autres termes, la réponse est $\frac{n!}{(n_1)!\cdots(n_k)!}$ où les $n_i$ sont le nombre de répétitions. -
Merci marsup et Maxtimax.
J'ai pensé à dénombrer le stabilisateur, mais pas au fait que regrouper les coefficients qui sont égaux ne changerait pas le cardinal du stabilisateur.
Si je devais formuler tout ça clairement, on veut savoir combien il y a de matrices de permutation $P_{\sigma}$ telles que : $P_{\sigma}^{-1}DP_{\sigma}=D$
Le réarrangement proposé par Maxtimax correspond à la conjugaison de $D$ par une matrice de permutation $P_{\mu}$, donc (si j'ai bien compris) le stabilisateur change, mais pas son cardinal.
Si $D'$ est la matrice réarrangée $Stab(D)=Stab(D')\mu^{-1}$. -
Voici comment on peut dire sans utiliser le vocabulaire des actions de groupe.
Je cherche à dénombrer les anagrammes du mot MISSISSIPPI
Il y a 4 I, 4 S, 2 P et un M : ça fait 11 lettres.
Je commence par placer mes 4 I : ça fait $\binom{11}{4}$ choix possibles.
Il reste $7 = 11-4$ emplacements. Je place les 4 S : ça fait $\binom{7}{4}$.
(restent 3 emplacements)
Puis mon M : 3 positions possibles. Les P vont remplir les deux emplacements restants.
En tout, ça donne : $\binom{11}{4} \times \binom{7}{4} \times 3 = \frac{11!}{4!4!1!2!} = \binom{11}{4,4,1,2}$.
Remarque : ce nombre est le coefficient dans le développement de $(M+I+S+P)^{11}$ du monôme : $M \times I^4 \times S^4 \times P^2$. (:D -
Bonjour,
Pour les anagrammes du mot MISSISSIPPI, je faisais plutôt comme ceci:
$11$ lettres donc $11!$ possibilités.
Mais il y $4$ S, donc en les permutant, on obtient la même permutation globale, il faut donc diviser $11!$ par $4!$.
On fait de même pour les autres multiples.
Cordialement,
Rescassol -
Oui, ton approche Rescassol, c'est plutôt le point de vue avec le stabilisateur.
J'ai enseigné ce truc-là cette année pour la première fois, et je suis tombé un peu par hasard sur cette approche progressive (d'abord placer les I, puis les S dans les emplacements restants, etc) J'ai l'impression que les élèves accrochement mieux à ce point de vue consécutif.
Et puis ils aiment bien la simplification télescopique des factorielles dans $\binom{a+b+c+d}{a} \times \binom{b + c + d}{b} \times \binom{c+d}{c} \times \binom{d}{d}$. -
Lee Sin : attention, le stabilisateur est conjugué, pas translaté (je pense que c'est une coquille ;-) ) - mais effectivement, le cardinal reste le même
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Bonjour!
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