Un truc tout simple

confinoum0211

Bonjour à vous
Ma dernière connexion remonte à juin dernier, cela date. Je refais de temps en temps des maths pour le plaisir uniquement et sans aucunes échéances (à mon âge).
Voilà, je "bute" sur un point de la démonstration du résultat tout simple suivant.

Soit $c \in[a,b]$, la distance du point $c$ aux bornes de l'intervalle (ouvert) $]a,b[$ est $\alpha =\min (|c-a|,|c-b|) >0$

Ce que je comprends : (1) Le positionnement de $c$ par rapport au milieu $(a+b)/2$.
(2) Que l'on considère par exemple $c \leq (a+b)/2$ pour démarrer la démonstration, et exploiter le "min".

Mes incompréhensions. (1) Pourquoi choisir le min et pas le max des deux quantités $|c-a|$ et $|c-b|$? Dans les 2 cas, il s'agit bien de distances tout à fait définies à partir du moment où $c$ est bien différent de $a$ et de $b$ (sinon la distance est $|a-b|$).
(2) Comment intuite-t-on que $x$ doit appartenir à l'intervalle $[c - \alpha/2 ; c + \alpha/2]$ pour mener la démonstration ?

Cela se comprend après : en effet le $\alpha/2$ va être majoré par $\alpha$, mais cela n'a rien d'évident à "deviner" même avec un dessin )...
C'est une question hyper basique, mais merci pour l'éclairage.
Cordialement.

gerard0

Bonjour.

La distance dont il est question est la distance de $c$ à l'ensemble $\{a,b\}$. Et la distance d'un point à un ensemble est définie comme la borne inférieure (*) des distances du point aux points de l'ensemble. Ça donne immédiatement le résultat Ça marche aussi si $c=a$ ou $c=b$, puisque dans ce cas, la distance est nulle (ce n'est pas |b-a| qui est la distance de $a$ à $b$).
Je n'ai rien compris à la suite, à ta question 2, il n'y a pas de $\alpha$ dans ma preuve, qui est l'application de la définition.

Cordialement.


(*) dans ce cas, c'est le minimum.

confinoum0211

@gerard0. Je ne comprends plus rien du tout là. Un ensemble {a, b}, ce n'est pas le segment [a, b] ? Dans un cas, on a que deux éléments ; et dans l'autre une infinité de points...

Après ce n'est pas |b-a| qui est la distance de a à b ? Comment est-elle définie alors ?

Bon après, je ne veux pas m'embarquer dans des choses compliquées (hors de ma portée).
Merci.

gerard0

" Un ensemble {a, b}, ce n'est pas le segment [a, b] ?"
Ben non. L'ensemble {a,b} est un ensemble à deux éléments, si tu parles de nombres réels, le segment [a,b] a une infinité d'éléments, ou un seul si a=b, ou aucun si a>b, mais jamais 2.

"Après ce n'est pas |b-a| qui est la distance de a à b ?" Si ! C'est bien ce que je disais. Mais pas la distance de c aux extrémités du segment quand c= a ou c=b.

Tu as vraiment du mal à lire ce qui est écrit ! J'en arrive à me demander si tu as compris ce qui était en cause dans la démonstration. Comme je ne l'ai pas, et que ton histoire de $x$ semble parler d'autre chose, il serait bon que tu donnes le texte entier de ce qui te pose problème. J'ai bien l'impression qu'il s'agit de placer un intervalle ]x-e,x+e[ à l'intérieur de l'intervalle ]a,b[ qui contient x. Un simple dessin explique tout !!

confinoum0211

Oh la la, cool...Et bien, je ne sais pas trop ce que fait la modération, mais le ton adopté ne me plaît pas du tout ! Je ne suis pas votre élève, et vous êtes pas mon professeur !!! C'est clair ?

Et le tutoiement est de rigueur ici ? On se connaît ? J'ai plus de 50 ans pour la petite histoire..


Je vous laisse avec vos mathématiques ! Bye

Merci de supprimer mon compte.

gerard0

Tu as plus de 50 ans ? Et alors ... il y a 50 ans j'étais déjà étudiant ! Et marié.
Oui, on se tutoie sur ce forum, je l'ai toujours fait, et quasiment depuis sa création. Si ça ne te va pas, change de forum (mais il y en a plein où on tutoie).

Tout ça parce que tu es vexé d'avoir lu de travers ...

confinoum0211

Moi vexé ? Ah ah ah, vous me faites bien rire...Votre intervention va m'empêcher de dormir ! Je vous laisse à vos maths... Bonne continuation

Chaurien

Moi j'ai bien plus que cinquante ans, et si la coutume sur ce forum veut qu'on se tutoie, je ne trouve rien à y redire. Cela ne nuit en rien au respect mutuel ni à la qualité des échanges.

Dom

Bon allez, on reprend.
Je retiens quelque chose dans la question originale : « pourquoi le min ? pourquoi pas le max ? ».
Une distance en maths ça doit vérifier des propriétés.
Le $\min$ les vérifie mais pas le $\max$. (Je dis ça rapidement)