Produit semi-direct

Dans le produit semi-direct de deux groupes (disons de N par H), la loi de groupe est définie à l'aide d'un morphisme de $H$ vers le groupe des automorphismes de N.
Si je prends un produit semi-direct de N par H via un morphisme $\phi_1$, puis via un autre morphisme $\phi_2$ est-ce que j'obtiens la même structure de groupe ? (i.e deux produits isomorphes).
Désolé si c'est une question bête.

Réponses

  • Non absolument pas : essaie de voir ce que $\phi_1 = $ le morphisme trivial te donne.

    En particulier, si $H,N$ sont abéliens, tu verras que $H\rtimes_1 N$ n'est jamais isomorphe à $H\rtimes_\phi N$ si $\phi\neq 1$.

    En général, on a parfois des isomorphismes, et parfois pas. Par exemple, tu peux essayer de voir ce qui se passe pour $\phi_1,\phi_2$ conjugués.
  • Merci bien Maxtimax.
    Il y a quelque chose dans l'image jointe sur laquelle j'ai un doute.
    Je pense comprendre que dans ce critère, la loi du produit semi-direct est:
    $(n,h).(n',h')= (nhn'h^{-1},hh')$
    Mais pourquoi ce n'est pas spécifié ? (c'est pour ça que j'ai pensé qu'ils étaient tous isomorphes, indépendamment de l'action de H sur N par automorphisme)
    EDIT: En fait je pense que ce que j'ai dit est valable lorsque $H=G/N$ que i est l'inclusion et p la projection canonique.
    Dans le b) H est isomorphe à G/N (via $h \rightarrow hN$), mais dans le a) j'ai du mal à voir de quel produit semi-direct il s'agit.123418
  • Il y a bien écrit "machin est un produit semi-direct". Spécifiquement, c'est donné par le morphisme $H\to Aut(N)$ donné par la conjugaison.

    En fait, le point est le suivant : je prends deux groupes $H,N$ et un morphisme $f: H\to Aut(N)$. J'obtiens alors $N\rtimes_f H$, le produit semi-direct le long de $f$ (ou "selon $f$", ou n'importe quelle formulation qui fait comprendre qu'il y a un $f$ quelque part).

    Alors $n\mapsto (n,1)$ et $h\mapsto (1,h)$ sont des morphismes injectifs $N\to N\rtimes_f H$ et $H\to N\rtimes_f H$ respectivement, qui fait qu'on identifie $N$ à un sous-groupe de ce produit, et $H$ aussi.

    Avec ces identifications, l'action de $H$ sur $N$ est forcément donnée par la conjugaison.

    En effet $(1,h)(n,1)(1,h^{-1}) = (f(h)(n), h)(1,h^{-1}) = (f(h)(n) f(h)(1), hh^{-1}) = (f(h)(n), 1)$.

    En d'autres termes, l'action de $H$ sur $N$ par $f$ devient, dans ce produit semi-direct, l'action par conjugaison de $\{1\}\times H$ sur $N\times\{1\}$. Mais comme $H$ et $N$ sont au préalable pas du tout reliés, cette action par conjugaison n'a pas de sens si je ne précise pas de plongements $H\to G, N\to G$ pour un certain groupe $G$.

    En particulier, si je pars de sous-groupes $H,N\leq G$ (et que je les vois comme sous-groupes), et si $N$ est normal, il y a une action privilégiée de $H$ sur $N$, à savoir la conjugaison. Et si $G$ est un produit semi-direct de ses sous-groupes $N$ et $H$ (je les vois en tant que sous-groupes, pas en tant que groupes abstraits), alors l'action est forcément par conjugaison, d'après ce qu'on vient de dire au-dessus.

    Mais le morphisme $H\to Aut(N)$ "conjugaison" va dépendre du groupe $G$. En fait il peut être quelconque (c'est une des beautés du produit semi-direct : il permet de réaliser n'importe quel automorphisme comme une conjugaison, tant que je suis autorisé à élargir mon groupe)

    Donc non, attention, même si $H,N$ sont sous-groupes de $G$, si je ne dis pas que le produit semi-direct est le même que celui en tant que sous-groupes, il n'y a pas de raison que $N\rtimes_g H \cong N\rtimes_f H$.
    Je suis d'accord que c'est souvent pas ultra bien expliqué, et en fait on en revient souvent au problème que "dans les petites classes", on nous dit qu'on peut identifier deux choses isomorphes, alors que c'est faux: on peut identifier deux choses le long d'un isomorphisme
    (c'est d'ailleurs pour ça que je n'aime pas la notation $\mathbb F_{p^n}$, par rapport à ton autre fil)
  • C'est très beau vu comme ça, merci d'avoir pris le temps d'expliquer tout ça :)
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