Groupe quotient

Lee sin

Si $\mathbb{H}$ est un sous-groupe distingué d'un groupe $\mathbb{G}$, est-ce qu'on peut affirmer que $\mathbb{G}$ contient un sous groupe isomorphe au groupe quotient $\mathbb{G/H}$ ?

Math Coss

Non en général.

raoul.S

Prendre par exemple $\mathbb{G} = \mathbb{Z}$ et $\mathbb{H}= 2\mathbb{Z}$.

Poirot

Même parmi les groupes finis on peut trouver des contre-exemples, par exemple avec le groupe $\mathbb H_8$ des quaternions, qui n'admet que des sous-groupes propres cycliques mais un quotient non cyclique.

AD

Cependant c'est vrai pour les groupes commutatifs finis. :-D
Alain

Maxtimax

Oui, enfin... pour de mauvaises raisons ;-)

nicolas.patrois

Il y a des groupes infinis où ça marche quand même ?

Lee sin

Merci pour les réponses.
Je pose cette question parce que j'essaie de comprendre l'intérêt de la notion de produit semi-direct (qui est nouvelle pour moi). Si j'ai bien compris l'histoire, en théorie des groupes on essaie de savoir qui est isomorphe à qui: par exemple on voit facilement que pour p premier, tous les groupes de cardinal p sont isomorphes à Z/pZ. Un brave homme sur ce forum a dit qu'en algèbre ce qui compte ce n'est pas les objets, mais la relation entre les objets.
Donc, si j'ai bien compris, le produit semi-direct sert à "dévisser" un groupe, avec l'hypothèse du début du post on aurait que $\mathbb{G}$ est isomorphe au produit semi-direct de $\mathbb{H}$ par $\mathbb{G/H}$ et on peut réitérer le procédé jusqu'à tomber sur des groupes simples, encore faut-il que l'hypothèse soit vérifiée.

Georges Abitbol

@Lee sin : Euh ben même s'il y avait un sous-groupe de $G$ isomorphe à $G/H$, je vois pas pourquoi $G$ serait produit semi-direct (je sais que si on rajoute l'hypothèse que le sous-groupe en question intersecte $H$ trivialement, c'est bon ; mais je ne sais pas si l'hypothèse est nécessaire).

En tout cas, la motivation du "dévissage" qui est donnée aux étudiant.e.s m'a toujours un peu déçu : je ne connais pas vraiment d'exemple où le "dévissage" permet d'apprendre quelque chose sur un groupe. Enfin, peut-être que j'en connais sans savoir que c'est ça...

Lee sin

@Georges Abitbol:
J'ai été imprécis, il fallait que je dise qu'il existe un sous-groupe $N$ de $G$ isomorphe à $G/H$ via la projection canonique de $G$ sur $G/H$. J'avais omis ce dernier point.
On aura que $N\cap H = \{1\}$ et que $HN=G$.
(Je ne fais que redire ce que j'ai lu dans le Perrin).

Georges Abitbol

@Lee sin : Oui, d'accord !

Maxtimax

GA : l'hypothèse est nécessaire, comme tu le devines. Mon exemple favori c'est $0\to \mathbb Z/2\to \mathbb Z/4\to \mathbb Z/2\to 0$ (favori parce qu'il est minimal, simple, il montre toutes les subtilités du cas abélien qu'on pourrait croire plus gentil; et il ouvre la porte à l'algèbre homologiqueà