Dimension de Hausdorff d'une projection
Bonjour à tous
Je me demande si le résultat suivant est vrai.
Soit $A$ un sous-ensemble de $\R^2$, $\bar{A}$ son projeté orthogonal sur l'axe $Ox$ et $A_x$ la section verticale de $A$ en $x$.
On suppose que $\dim_H A_x = 0$ pour tout $x$.
Alors $\dim_H \bar{A} = \dim_H A$.
Je sais que la condition n'est pas nécessaire, on peut avoir un $x$ tel que $\dim_H A_x >0$ et $\dim_H \bar{A} = \dim_H A$, par exemple avec $A:=\{0\}\times [0,1] \cup [0,1] \times\{0\}$.
Quelqu'un aurait une indication ?
Merci
Je me demande si le résultat suivant est vrai.
Soit $A$ un sous-ensemble de $\R^2$, $\bar{A}$ son projeté orthogonal sur l'axe $Ox$ et $A_x$ la section verticale de $A$ en $x$.
On suppose que $\dim_H A_x = 0$ pour tout $x$.
Alors $\dim_H \bar{A} = \dim_H A$.
Je sais que la condition n'est pas nécessaire, on peut avoir un $x$ tel que $\dim_H A_x >0$ et $\dim_H \bar{A} = \dim_H A$, par exemple avec $A:=\{0\}\times [0,1] \cup [0,1] \times\{0\}$.
Quelqu'un aurait une indication ?
Merci

Réponses
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Bonjour,
La propriété demandée est fausse. Tu peux chercher un contre-exemple avec l'escalier de Cantor. -
Ok merci beaucoup !
$A := \{(x,f(x))~|~x\in C\}$ fonctionne si je ne dis pas de bêtises, avec $f$ l'escalier de Cantor et $C$ le Cantor. -
C'est plutôt $\{(x,f(x))\mid x\in C\}$ qu'il faut prendre.
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Oui bien sûr, coquille corrigée, merci !
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Remarque qu'en l'occurrence on a beaucoup mieux que $\dim_{\cal H} A_x=0$, on a ${\rm card}(A_x ) \leqslant 1$. Et $A$ a une forme très simple : c'est juste le graphe d'une fonction monotone. C'est assez épatant je trouve. Au début, j'avais pensé qu'il faudrait chercher des contre-exemples beaucoup plus compliqués avec pleins de points partout dans tous les sens pour avoir $\dim_{\cal H} A> \dim_{\cal H} \overline A$. :-)
Edit : correction suivant la remarque de Poirot -
Je ne vois pas comment on pourrait avoir ${\rm card}(A_x )=2$ alors que $A$ est le graphe d'une fonction, j'ai mal compris quelque chose ?
-
Oui oui, t'as raison. J'ai regardé le truc à 90°. Je corrige. :-D
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Bonjour!
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