Géométrie projective
Bonjour,
Comment motiver l'étude de la géométrie projective ? (dans un oral par exemple)
J'entends parler de droites parallèles qui se coupent à l'infini mais je n'arrive pas à voir quel est le lien avec la définition d'un espace projectif (comme réunion de droites vectorielles contenues dans un espace vectoriel).
Comment motiver l'étude de la géométrie projective ? (dans un oral par exemple)
J'entends parler de droites parallèles qui se coupent à l'infini mais je n'arrive pas à voir quel est le lien avec la définition d'un espace projectif (comme réunion de droites vectorielles contenues dans un espace vectoriel).
Réponses
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Bonjour,
L'étude de la géométrie projective, se justifie par les lois de la perspective.
Je conseille "initiation à la géométrie" de Lehmann et Bkouche (PUF 1988).
On peut lire aussi "géométrie spatiale" de D Jaques aux PPUR 2013
Cordialement. -
Merci bien.
Si possible, pouvez-vous m'éclairer sur le lien entre la géométrie projective et l'action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré ?
Je comprends que le demi-plan complexe supérieur (Im(z) > 0) est stable par homographie. Mais comment interpréter ce résultat en termes de géométrie projective ? -
Cherche les textes de Daniel Perrin sur ce sujet.The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
Merci énormément !
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Bonjour Lee Sin
Et en particulier tu lis la partie II de son cours de géométrie projective consacrée aux invariants de ladite géométrie.
Ca te changera des bissectrices!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci bien.
Il faut dire que c'est quand même sacrément marrant de lire un commentaire de Pappus sur le birapport. -
Rebonjour,
J'ai lu et compris le début du document proposé par Mathurin.
J'ai une petite incompréhension à propos de la preuve de la proposition 2.2 page 11.
"L'image de $\mathbb{\infty}$ est un réel ou l'infini" Je ne vois pas pourquoi ça ne peut pas être un complexe non réel.
EDIT: Je pense comprendre maintenant. Si une homographie (que l'on identifie à une matrice $A$) stabilise le demi-plan de [large]P[/large]oincaré $H^2$ alors $-A$ stabilise également $H^2$ donc au final $H^2 \cup -H^2$ est stable par $A$.
Comme une homographie est bijective, le complémentaire de $H^2 \cup -H^2$ dans la droite projective complexe est également stable par $A$, et ce complémentaire n'est autre que la droite projective réelle.
Donc au final on a bien que "L'image de $\mathbb{\infty}$ est un réel ou l'infini".
[Henri Poincaré (1854-1912) prend toujours une majuscule. AD] -
Mon cher Lee Sin
En lisant ton dernier message absolument délirant, je vois que tu n'as rien compris ni à la géométrie projective ni à la géométrie hyperbolique.
Apprends l'une ou l'autre de ces deux géométries dans l'ordre que tu veux mais ne les mélange pas à ton gré!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
@Pappus. En effet j'ai dit des bêtises.
J'étudie uniquement la géométrie projective en m'aidant de ce document: https://perso.univ-rennes1.fr/ludovic.marquis/enseign/2017-18/GHYP_2017/notes_GHYP.pdf rubrique "Préliminaire projectif".
Je reprend ma question.
On dispose d'une homographie $f:z \rightarrow \frac{az+b}{cz+d}$ avec $a,b,c,d \in \mathbb{C}$ $ad-bc \neq 0$ définie de la droite projective complexe vers elle même, qui stabilise le demi-plan de Poincaré : $H^2=\{z \in \mathbb{C} \mid \mathbb{Im(z)} > 0 \}$
Je veux prouver que $f(\infty) \in \mathbb{R}\cup\{\infty\}$.
Pour cela je remarque qu'il suffit de montrer que $f$ stabilise le demi-plan opposé : $-H^2=\{z \in \mathbb{C} \mid \mathbb{Im(z)} < 0 \}$, mais je n'arrive pas à le montrer (ma justification pour cette affirmation était en effet une grosse bêtise : j'ai fait comme si $f(-z)=-f(z)$).
Si ce fait est acquis $f$ stabilisera la réunion des deux demi-plans, donc son complémentaire (car $f$ est bijective) qui est la droite projective réelle.
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Bonjour!
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