Géométrie projective

Bonjour,
Comment motiver l'étude de la géométrie projective ? (dans un oral par exemple)
J'entends parler de droites parallèles qui se coupent à l'infini mais je n'arrive pas à voir quel est le lien avec la définition d'un espace projectif (comme réunion de droites vectorielles contenues dans un espace vectoriel).

Réponses

  • Bonjour,
    L'étude de la géométrie projective, se justifie par les lois de la perspective.
    Je conseille "initiation à la géométrie" de Lehmann et Bkouche (PUF 1988).
    On peut lire aussi "géométrie spatiale" de D Jaques aux PPUR 2013
    Cordialement.
  • Merci bien.
    Si possible, pouvez-vous m'éclairer sur le lien entre la géométrie projective et l'action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincaré ?
    Je comprends que le demi-plan complexe supérieur (Im(z) > 0) est stable par homographie. Mais comment interpréter ce résultat en termes de géométrie projective ?
  • Ce document pourra peut-être vous aider.
    GHyp
    Cordialement
  • Cherche les textes de Daniel Perrin sur ce sujet.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Merci énormément !
  • Bonjour Lee Sin
    Et en particulier tu lis la partie II de son cours de géométrie projective consacrée aux invariants de ladite géométrie.
    Ca te changera des bissectrices!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Merci bien.
    Il faut dire que c'est quand même sacrément marrant de lire un commentaire de Pappus sur le birapport.
  • Rebonjour,
    J'ai lu et compris le début du document proposé par Mathurin.
    J'ai une petite incompréhension à propos de la preuve de la proposition 2.2 page 11.
    "L'image de $\mathbb{\infty}$ est un réel ou l'infini" Je ne vois pas pourquoi ça ne peut pas être un complexe non réel.

    EDIT: Je pense comprendre maintenant. Si une homographie (que l'on identifie à une matrice $A$) stabilise le demi-plan de [large]P[/large]oincaré $H^2$ alors $-A$ stabilise également $H^2$ donc au final $H^2 \cup -H^2$ est stable par $A$.
    Comme une homographie est bijective, le complémentaire de $H^2 \cup -H^2$ dans la droite projective complexe est également stable par $A$, et ce complémentaire n'est autre que la droite projective réelle.
    Donc au final on a bien que "L'image de $\mathbb{\infty}$ est un réel ou l'infini".

    [Henri Poincaré (1854-1912) prend toujours une majuscule. AD]
  • Mon cher Lee Sin
    En lisant ton dernier message absolument délirant, je vois que tu n'as rien compris ni à la géométrie projective ni à la géométrie hyperbolique.
    Apprends l'une ou l'autre de ces deux géométries dans l'ordre que tu veux mais ne les mélange pas à ton gré!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • @Pappus. En effet j'ai dit des bêtises.
    J'étudie uniquement la géométrie projective en m'aidant de ce document: https://perso.univ-rennes1.fr/ludovic.marquis/enseign/2017-18/GHYP_2017/notes_GHYP.pdf rubrique "Préliminaire projectif".
    Je reprend ma question.
    On dispose d'une homographie $f:z \rightarrow \frac{az+b}{cz+d}$ avec $a,b,c,d \in \mathbb{C}$ $ad-bc \neq 0$ définie de la droite projective complexe vers elle même, qui stabilise le demi-plan de Poincaré : $H^2=\{z \in \mathbb{C} \mid \mathbb{Im(z)} > 0 \}$
    Je veux prouver que $f(\infty) \in \mathbb{R}\cup\{\infty\}$.
    Pour cela je remarque qu'il suffit de montrer que $f$ stabilise le demi-plan opposé : $-H^2=\{z \in \mathbb{C} \mid \mathbb{Im(z)} < 0 \}$, mais je n'arrive pas à le montrer (ma justification pour cette affirmation était en effet une grosse bêtise : j'ai fait comme si $f(-z)=-f(z)$).
    Si ce fait est acquis $f$ stabilisera la réunion des deux demi-plans, donc son complémentaire (car $f$ est bijective) qui est la droite projective réelle.
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