Cercle inscrit

Bonjour,
Je n'ai pas fait de géométrie depuis le collège, et j'essaie de sauver les meubles pour l'oral de l'agrég externe.
Je ne suis pas familier avec les raisonnements géométriques.
À titre d'exemple, comment je démontre rigoureusement qu'il existe un cercle inscrit dans un triangle équilatéral ?
Avec un dessin, il parait évident que le cercle dont le centre est le centre de gravité du triangle et dont le rayon est la distance entre le centre de gravité et le milieu d'un côté convient. Toutefois comment le prouver ?
J'ai envie d'invoquer un argument de symétrie, en utilisant les trois axes de symétrie d'un triangle équilatéral, mais encore comment prouver que ce sont bien des axes de symétrie ?
Bref j'ai un peu l'impression de me compliquer la vie pour rien.

Réponses

  • Bonjour.

    Effectivement, tu compliques : Il y a un cercle inscrit dans tout triangle, son centre est l'intersection des bissectrices intérieures (vois-tu pourquoi ?).

    Cordialement.
  • Bonjour,
    Merci pour l'aide mais je n'arrive même pas à justifier qu'elles sont concourantes.
    Edit: En fait maintenant je pense comprendre un peu. Si je prend un point M d'une bissectrice, disons celle qui passe par le point B d'un triangle ABC, et que je projette orthogonalement ce point sur la droite (AB) puis (BC) pour obtenir respectivement des projetés H et H', alors j'ai MH=MH'. Donc si je prouve que les trois bissectrices sont concourantes, il suffit de projeter le point d'intersection sur chaque côté du triangle et j'aurai la même distance, qui est le rayon du cercle inscrit.
    Le fait que MH=MH' me semble "visible" mais je ne saurais pas le justifier. J'ai pris l'habitude avec l'algèbre et l'analyse d'avoir des définitions et des théorèmes à utiliser, maintenant je me sens tout nu (:D
    Edit 2: En fait MH=MH' est évident, il suffit d'exprimer le sinus dans le triangle rectangle obtenu, au final il reste juste à justifier la concourance des trois bissectrices.
  • Un raisonnement très classique autrefois (mon cours de quatrième) :
    Lemme : Dans un secteur angulaire BAC, un point est équidistant de (AB) et (AC) si et seulement si il est sur la bissectrice.
    Preuve : Soit O l'intersection de deux bissectrices du triangle ABC, par exemple de celle en A et en B. O est équidistant de (AB) et (AC), et de (BA)=(AB) et (BC), donc de (CA)=(AC) et de (CB)=(BC). Donc O est sur la bissectrice de l'angle en C.

    Je te laisse prouver ce que j'ai supposé sans le dire : deux bissectrices se coupent.

    Cordialement.
  • Ok je vois mieux maintenant, merci.
    Si je prend (D) et (D') les bissectrices de BAC et BCA respectivement, alors l'angle formé par (D) et [AC) est aigu pareil pour l'angle formé par (D') et A'. C'est parce que les angles BAC et BCA ne dépassent pas 180° donc la moitié fait strictement moins que 90°. Donc (D) et (D') se coupent.
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