Espérance exponentielle d'une loi binomiale

Thom

Bonjour, je suis bloqué sur cette question.

Comment calculer \(\mathbb{E}\left(e^{\lambda X}\right)\) ?
Sachant que \(X\) suit une loi binomiale \(\mathcal{B}\left(k,\frac{1}{2}-\frac{1}{s}\right)\)

Merci d'avance pour votre aide.

aléa

La loi binomiale est la loi de la somme de $k$ variables de Bernoulli indépendantes.

Thom

Merci de votre réponse rapide.
Mais je ne vois pas plus comment calculer cette espérance..

marsup

Bonjour tout le monde
$$
E\Big[\exp(\lambda \cdot \sum_{i=1}^k \epsilon_i)\Big]
=
E\Big[\prod_{i=1}^k\exp(\lambda \cdot \epsilon_i)\Big],

$$ où les $\epsilon_i$ sont iid $B(p)$.
Or, l'espérance du produit indépendant, c'est le produit des espérances, donc... (calculs calculs, puissance $k$, et voilà !).

marsup

Si je ne me trompe pas, ça donne $\big(q+p \cdot e^\lambda\big)^k$.