Équation de Riccati

Vincent

Bonjour
Je me retrouve à devoir intégrer l'équation de Riccati suivante.
$$
y'= C \exp(-\alpha t) - k y^2,$$ avec $C, k$ et $\alpha$ qui sont des constantes.
L'équation de Riccati s'intègre bien quand on a une solution particulière mais je sèche pour la solution particulière. Des idées ?

Merci pour vos suggestions.

etanche

Tu as besoin des fonctions de Bessel

YvesM

Bonjour,

La substitution $\displaystyle y \leadsto u$ avec $\displaystyle u(x) = \exp \Big(k \int^x y(t) dt\Big)$ donne $ k \big(u''(x) - k C \exp(-a x) u(x)\big) = 0$ ; cette dernière équation différentielle est résolue par les fonctions modifiées de première et seconde espèces de Bessel : $ I_0, K_0$ pour un argument (écrit à la physicienne) : $\displaystyle {2 \sqrt{C} \sqrt{\exp(-a x)} \sqrt{k} \over a}.$

Pour faire des maths, il faut discuter selon les valeurs des paramètres.

Vincent

Merci pour vos réponses !

YvesM

Bonjour,

Je corrige le titre : Riccati.