Calcul d'intégrale

dans Analyse
Bonjour à tous
Je cherche à calculer des intégrales de la forme $\ \displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^2}}{1 + \beta \mathrm{e}^{- \gamma x^2}},\ $ où $\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont des paramètres réels avec $\alpha$ et $\beta$ strictement positifs.
Je cherche si cela existe une forme close pour ces intégrales, ou alors une primitive, avec toutes les fonctions les fonctions spéciales autorisées (pour l'instant je cherche juste une réponse, simple ou moche peu importe).
Je signale avoir trouvé un problème similaire sur un autre forum (ce n'est pas moi qui l'ai posté, mais visiblement la question doit être courante), mais je n'arrive pas à en retrouver le lien.
Je vous remercie d'avance pour votre aide !
Je cherche à calculer des intégrales de la forme $\ \displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^2}}{1 + \beta \mathrm{e}^{- \gamma x^2}},\ $ où $\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont des paramètres réels avec $\alpha$ et $\beta$ strictement positifs.
Je cherche si cela existe une forme close pour ces intégrales, ou alors une primitive, avec toutes les fonctions les fonctions spéciales autorisées (pour l'instant je cherche juste une réponse, simple ou moche peu importe).
Je signale avoir trouvé un problème similaire sur un autre forum (ce n'est pas moi qui l'ai posté, mais visiblement la question doit être courante), mais je n'arrive pas à en retrouver le lien.
Je vous remercie d'avance pour votre aide !
Réponses
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Wolfram Alpha donne quelques réponses (avec $\beta=1$ au moins).
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@Math Coss merci!
J'avais fait quelques essais (entre autres sur Mathematica), et il me renvoyait parfois des résultats (d'autres fois il calculait longtemps et j'ai arrêté le calcul)... maintenant je me demande, si on cherche à la calculer, si cela ne peut pas se faire avec une méthode de type résidus (que je crois Mathematica ne connait pas bien, contrairement aux primitives). En tout cas je ne vois pas de méthode simple (changement de variable, ipp ou symétrie) permettant d'arriver au résultat... -
On peut commencer par utiliser la symétrie et ramener à l'intervalle d'intégration à $[0;\infty[$.
Puis, comme semble le faire Wolfy, on fait le changement de variable $\displaystyle y=\text{e}^{-x^2}$.
PS:
Si $\beta=1$ je pressens qu'on va pouvoir obtenir un résultat intéressant (fonction bêta d'Euler à paramètre qu'on va dériver etc). (Edit: pas si sûr)Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Bonjour,
On peut trouver une série. -
En fait, pas besoin de se fatiguer à faire un changement de variable :
On suppose que (edit:$|\beta|\leq 1$, $-1$ pose un problème de convergence) $-1<\beta\leq 1$.
Pour tout $x>0$.
$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^2}}{1 + \beta \mathrm{e}^{- \gamma x^2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (-\beta)^n\mathrm{e}^{-(\alpha+n\gamma) x^2}$
Et il ne reste plus qu'à intégrer terme à terme.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
On a $a>0,\displaystyle \int_0^\infty \text{e}^{-ax^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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Ben oui mais la somme n'est pas très parlante, si ?
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Math Coss: on doit pouvoir réarranger ça comme Wolfy en fonction zeta.
Si $\beta=-1$ cela me semble clair.
NB:
Je parle de fonction zeta de Hurwitz.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
$\displaystyle \int_0^\infty \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^2}}{1 + \beta \mathrm{e}^{- \gamma x^2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (-\beta)^n\int_0^\infty \mathrm{e}^{-(\alpha+n\gamma) x^2}dx=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\beta)^n\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\gamma}}\dfrac{1}{\left(\frac{\alpha}{\gamma} +n\right)^{\frac{1}{2}}}$
Si $\beta=-1$ cette intégrale est (probablement) égale à $\displaystyle \frac{(-\beta)^n\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\gamma}}\zeta\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha}{\gamma}\right)$(edit: dommage que l'intégrale ne converge pas pour $\beta=-1$)
PS:
l'intégrale ne converge pas pour...$\beta=-1$ :-D
PS2:
Pour $\beta=1$ on transforme la série en une somme de deux séries (on isole les $n$ pairs dans une somme et les $n$ impairs dans une autre) on doit pouvoir exprimer ces deux séries avec la fonction zeta d'Hurwitz.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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Bonjour!
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