Interrogations métaphysiques et cardinal de C

piRo0

Voila, d'un seul coup a 23h30 je me pose une question dont la réponse va sans doute paraitre evidente a pas mal de personnes ici, donc qu'ils m'en fassent profiter

On sait que le cardinal de $\N$ est le même que celui de $\N^2$, mais est-ce que le cardinal de $\R$ est aussi égal au cardinal de $\R^2$ ??

Autrement dit, à mon niveau, existe-t-il une bijection entre $\R$ et $\C$????

Volny DE PASCALE0

Si je ne m'abuse on démontre qu'il y a idempotence entre $\R$ et $\R^2$ (et donc $\R^n$)

Je crois qu'on y arrive par entrelacement des décimales :

on part du dévelopement décimal de $x (x_1x_2x_3...)$
et on considére $f:[0;1]\rightarrow[0;1]\times[0;1]$
$x\mapsto(x';x'')$ avec $x'=\sum_{n \in \N^*} \frac{x_{2i}}{10^{i+1}}$ et $x''=\sum_{n \in \N} \frac{x_{2i+1}}{10^{i+1}}$

Amicalement
Volny

Volny DE PASCALE0

Zut j'ai encore oublié d'utiliser limits !
$ \sum \limits_{n \in \N^*}$

Le caractère bijectif est amusant à montrer, ne serait-ce qu'a cause des développements impropres.
Il faut un peu tripoter pour se débarasser de $0,24949494949494949494949494\underline{94}...$ et $0,3404040404040404040\underline{40}...$

La rédaction propre est laissée au lecteur à titre d'exercice.

(Une autre façon de dire, je sais pas le faire et y'en a pour deux pages ?)

Amicalement
Volny

Rudy

Bonjour,

J'imagine que le fait de pouvoir apparier les points d'une droite à tous les
points d'un plan répond aussi à la question par l'affirmative. De même Cantor a apparié les points d'une droite à ceux de l'espace. D'où le cardinal de R est aussi le cardinal de R3.
Corrigez-moi si je me trompe.

Rudy

irakos5

En fait, ils sont même isomorphes en tant que groupes additifs, puisque ce sont deux Q-espaces vectoriels de même dimension. Bon, évidemment, il faut l'axiome du choix...

Bruno

Bonjour Piro.

Tout cardinal $\aleph_\alpha$, vérifie $\aleph_\alpha^2 = \aleph_\alpha$

Bruno

Babouin

Pour Bruno, comment fait-on pour montrer cela ?

Bruno

Bonjour Babouin.

Je n'ai pas la démonstration en tête, aussi suis-je allé vérifier dans l'ouvrage de Krivine avant de rappelr ce résultat (on peut dire tellement de sottises quand on n'est plus totalement dans le bain) ; voici le principe de la démonstration de Krivine :
\begin{itemize}
\item On considère la classe $On^2$ de tous les couples d'ordinaux, sur laquelle on définit un prédicat de bon ordre lexicographique. Il existe donc une relation fonctionnelle $J$ qui à tout couple d'ordinaux associe un ordinal de façon bijective et qui est strictement croissante.
\item On considère alors le premier ordinal $\alpha$ tel que $\aleph_\alpha^2 \neq \aleph_\alpha$ et il prouve que $J(\beta,\gamma) \in \aleph_\alpha$ pour tout $(\beta,\gamma) \in \aleph_\alpha^2$ ce qui entraîne $\aleph_\alpha^2 \leq \aleph_\alpha$, d'où l'égalité contrairement à l'hypothèse.
\end{itemize}
Il faudrait décortiquer cela plus avant, mais l'dée générale est que cette propriété du carré est vraie sur la classe des ordinaux, donc sur tout segment initial borné par un cardinal.

Bruno

piRo0

Merci a tous, ça répond amplement a ma question (parfaitement inutile au demeurant, mais ca fait toujours plaisir).

timouss back from the block

Merci Bruno

Cela clos un une longue recherche de ma part et de celle d'un ami sur une démonstration simple du résultat : ExE équipotent à E quand E infini....

t-mouss

Bruno

Source : "Théorie des ensembles" de J-L. Krivine

Bruno

Babouin

Merci. C'était donc ... compliqué !

le poulpe

non c'est pas trop compliqué. avec les developpements decimaux (de Volny) on peut construire des injections entre [0,1] et le carré [0,1]x[0,1]
après, le théorème de Cantor Bernstein assure l'existence d'une bijection.
ensuite il suffit de composer avec de bonnes applications pour dilater à R et R^2

Ben

Babouin parlait du cas général bien évidemment : comment montrer que E*E est équipotent à E dans le cas d'un ensemble E quelconque.

rémi

Au sujet de <I>E*E est équipotent à E</I>, on pourra lire avec intérêt le texte de Guy Philippe :
<BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/spip/article.php3?id_article=91"&gt; http://www.les-mathematiques.net/spip/article.php3?id_article=91</a>.

jeanjean0

je crois qu'on peut meme montrer R^N ( N entiers naturels) en suivant le schema: (2^N)=R, R^N= (2^N)^N=2^(N^2)=2^N (car N=N^2)=R

corentin0

Est ce qu'il y a un cardinal plus élevé que celui de $\R$?

manuel

Celui de P(R), ensemble des parties de R. Puis celui de P(P(R)) est encore plus grand, etc.
Il y a déjà eu des posts sur le sujet "montrer que pour tout ensemble Card(P(E)) > Card(E)" si tu veux voir la démo.

Kuja

Allez, c'est pas ma spécialité, mais un autre exemple : l'ensemble des fonctions de [0,1] dans R.