fontion d'Euler

tintin1

Bonsoir à tous,

J'ai une petite question...
Soit G un groupe fini d'ordre n et H un sous-groupe de G d'ordre m.
on suppose que n et phi(n) sont premier entre eux.
A-t-on aussi m et phi(m) premier entre eux?

je n'arrive pas du tout à mettre en place de raisonnement qui puisse aboutir!

Merci.

Tintin.

dark vador0

hello
A-t-on aussi n et phi(n) premier entre eux?
non en general!

notons phi f
f(p) = p-1 si p premier
f(n)=n(1-1/p) (1-1/q) .....(1-1/l)
ou p, q , l ect sont les nombres premiers de la decomposition de n en facteurs premiers
par lagrnge m divise n
f(n) =phi(n) est le nombre de generateurs de G

f(m) =phi(m) est le nombre de generateurs de H
n et phi(n) sont premier entre eux. bezout? donc phi(n) ne divise pas n
et m divise n
euh il manque la question
a+

lolo

Bonsoir,

Lesfacteurs premiers de phi(n) sont soit des facteurs de n soit des facteurs premiers de p-1 où p premier divise n (d'après l'expression
phi(n)=n (produit(1-1/p)) ) si m divise n ces seuls facteurs premiers sont ceux de n .
Par hypothèse aucun premier divisant n ne divise phi(n) donc aucun premier divisant n ne divise les p-1 donc aucun premier divisant m non plus ! Conclusion oui ça marche (sauf erreur et tu compléteras le reste de l'argument).

lolo

tintin1

merci beaucoup!!!
oui ça marche

borde

Ou bien on peut utiliser : $\gcd(n,\varphi(n)) = 1$ $\Longleftrightarrow$ $G$ est cyclique. Donc $H$ est cyclique. Donc $\gcd(m,\varphi(m)) = 1$.

Borde.