Une équation fonctionnelle
Bonjour,
$E$ est une partie de $\R$, on considère les fonctions $f$ de $E$ dans $E$ vérifiant pour tout $x$ de $E$ $$ (\mathcal{F} ):\quad f\big(f(3x)+2x\big)-f(3x)-f(x)=2x.
$$ 1) $E=\R$, déterminez une fonction continue solution de $(\mathcal{F} )$.
2) $E=\N$, déterminez une fonction solution de $(\mathcal{F} )$.
$E$ est une partie de $\R$, on considère les fonctions $f$ de $E$ dans $E$ vérifiant pour tout $x$ de $E$ $$ (\mathcal{F} ):\quad f\big(f(3x)+2x\big)-f(3x)-f(x)=2x.
$$ 1) $E=\R$, déterminez une fonction continue solution de $(\mathcal{F} )$.
2) $E=\N$, déterminez une fonction solution de $(\mathcal{F} )$.
Réponses
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Pour 1) prendre $f(x)=\frac{1+\sqrt 7}{3} x$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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ok pour le 1) gebrane.
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Cidrolin pour la 2), par précaution, je passe après PoirotLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Je suis pris à parti ! Malheureusement je n'ai pas trouvé grand-chose à dire là-dessus, les équations fonctionnelles ça n'a jamais été mon fort. :-(
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Poirot, quand je dis je passe après Poirot, c'est simplement pour dire timidement que je ne sais pas faireLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Un indice :
Un résultat de LOU16 dans “ Shtam” peut aider, -
Question 2)
L'équation fonctionnelle peut se réécrire : $f+g=f\circ g$ avec $g(x)= f(3x)+2x$.
On peut utiliser le résultat de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2243834 trouver la solution plus grande que $1$ de $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{2\alpha+3}=1$,
et conclure qu'une solution est $f(n)=\Big\lfloor \dfrac{1+\sqrt 7}{3} n \Big\rfloor$.
C'est bien voisin de la réponse du 1) : $f(x)=\dfrac{1+\sqrt 7}{3} x$. Étonnant non ? -
Bonjour, on laisse notre champion Quentino37 démontrer directement que
$$\big\lfloor a\lfloor 3an \rfloor +2an \big\rfloor - \lfloor 3an \rfloor - \lfloor an \rfloor = 2n , \qquad \forall n \in N $$ avec $a= \frac{1+\sqrt 7}{3} .$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Pour bien faire il serait bien aussi de vérifier pour 1) si il y a des solutions non linéaires.
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Namiswan, moi par paresse j'ai cherché une solution affine $f: x\to ax+b$ qui donne après calcul b=0 et $a= \frac{1+\sqrt 7}{3}$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Bonjour!
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