Erreur dans un exo?
Bonjour
Dans un exo la question 2 est la suivante.
Les corps $\R$ et $\C$ sont-ils homéomorphes ?
Dans la correction de l'exo il est écrit.
Supposons disposer d'un homéomorphisme $f:\R\mapsto\C$, $\ g=f^{-1}$ est alors continue et $\R\setminus \{f(0)\}=g(\C\setminus\{0\})$. Ne devrait-il pas être écrit $\R\setminus\{g(0)\}$ à la place de $\R\setminus\{f(0)\}$ ?
Merci d'avance.
Dans un exo la question 2 est la suivante.
Les corps $\R$ et $\C$ sont-ils homéomorphes ?
Dans la correction de l'exo il est écrit.
Supposons disposer d'un homéomorphisme $f:\R\mapsto\C$, $\ g=f^{-1}$ est alors continue et $\R\setminus \{f(0)\}=g(\C\setminus\{0\})$. Ne devrait-il pas être écrit $\R\setminus\{g(0)\}$ à la place de $\R\setminus\{f(0)\}$ ?
Merci d'avance.
Réponses
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Si, sans doute.
Mais en gros, l'idée, c'est que quand tu enlèves un point à la droite, elle n'est plus connexe, alors que le plan moins un point reste connexe.
Donc la droite et le plan ne sont pas homéomorphes. (Quel scoop, tu demandes à un enfant de 4 ans, il te dit la même chose :-D) -
Voir aussi le Théorème de l'invariance du domaine de Brouwer, cher à Christophe.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_l'invariance_du_domaine -
Merci marsup, en effet dans la question 1 il fallait étudier la connexité de $\R\setminus\{x\}$ et de $\C\setminus\{z\}$.
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Bonjour!
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