Motivation élément régulier dans un anneau

fricadelle

Bonjour
Dans P. Mazet "Algèbre et Géométrie", avant la définition d'un élément régulier dans un anneau (cf part2.png), on trouve une "motivation" (cf part1.png).

Je ne comprends pas trop ce qu'il veut dire avec la double équivalence (qui d'ailleurs me paraît fausse).
Bon ce n'est pas trop important parce que je comprends la définition mais tout de même...
Merci pour vos lumières.

gerard0

Bonjour.

C'est bizarre effectivement que l'auteur appelle "hypothèses" deux propriétés classiques des anneaux (attention, ce sont deux équivalences, séparées par un "et", pas une suite de propriétés équivalentes).
En fait, il rappelle une méthode de transformation de a.b=a.c en un produit nul. Puis la propriété de régularité de a permettra de trouver b-c=0 puis d'en déduire b=c. L'auteur expose plus ce qu'il a dans la tête que le problème effectif.

C'est classique que ce qui permet en collège de simplifier par le nombre a non nul est
a.b=a.c
a.b-a.c=0
a.(b-c) = 0
application de la règle du "produit nul", et a est non nul
b-c=0
b=c

Mais ce n'est pas possible dans d'autres circonstances. Par exemple, si a, b et c sont des vecteurs et . est le produit scalaire, alors a.(b-c) = 0 donne seulement b-c orthogonal à a. On ne peut pas simplifier avec le produit scalaire.
Même chose dans de nombreux anneaux (tu verras vite des tas d'exemple), on ne peut simplifier que par un élément régulier.

Cordialement.

fricadelle

Ahhh... en effet j'ai été trompé par la typographie (le et sépare les deux équivalences)...

Merci pour les explications détaillées !!