Critère d'Eisenstein

Bonjour,

Ma question est relative à la page wikipédia du critère d'Eisenstein. Dans le paragraphe Exemples pour le polynôme $H(X)=X^{2}+X+2$, on translate $H$ en $H(X+3)$ et le polynôme $H(X+3)$ satisfait le critère d'Eisenstein. Du coup je me demandais, quand le translaté du polynôme satisfait le critère d'Eisenstein, est-ce que vous pensez qu'ils considèrent que le polynôme d'origine satisfait aussi le critère d'Eisenstein?
Voici un lien vers cette page wikipédia:ici

Merci d'avance

Réponses

  • Non ils utilisent implicitement le fait que cette translation est un automorphisme de l'anneau des polynômes (facile à vérifier). Or un automorphisme transforme les irréductibles en irréductibles.

    Plus précisément, l'application $P(X)\mapsto P(X+3)$ est un automorphisme de $\Z[X]$.
  • J'aimerais reformuler ma question: si le translaté du polynôme satisfait le critère d'Eisenstein est-ce que le polynôme d'origine est irréductible dans $Q[X]$ ? (Personnellement je dirais oui car sinon je ne vois pas l'intérêt d'être passé par le translaté du polynôme)
  • Si le translaté du polynôme satisfait le critère d'Eisenstein alors le polynôme d'origine est irréductible dans $\Z[X]$ car image de l'automorphisme inverse $P(X)\mapsto P(X-3)$. De plus il est aussi irréductible dans $\Q[X]$ car être irréductible dans $\Z[X]$ implique (petite démo à faire) être irréductible dans $\Q[X]$.


    Edit : cette affirmation est fausse et a été corrigée plus bas.
  • Bonjour.

    Oui, par contre l'utilisation du critère n'est pas possible directement sur le polynôme de départ.

    Le problème vient du fait qu'à priori l'une des parties du critère n'est pas appliquable directement sur le polynôme de départ alors qu'il est bien irreductible et ce qui est montré, c'est que la translation permet de trouver un polynôme correspondant sur lequel le critère s'applique sans réserve, ce qui valide l'irreductibilité du polynôme de départ.

    Le noeud étant de trouver la bonne translation suivant le polynôme à tester, c'est une petite heuristique à élaborer.

    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Merci raoul.S et Dreamer.
  • J'aimerais revenir sur le critère d'Eisenstein car quelque chose n'est pas clair.
    Raoul, quand le critère d'Eisenstein est satisfait, tu as dit que le polynôme $P$ est irréductible dans $\Z[X[$ et qu'il est aussi irréductible dans $\Q[X]$. Quand le critère d'Eisenstein est satisfait wikipédia dit que $P$ est irréductible dans $\Q[X]$ et si de plus $P$ est primitif alors d'après le lemme de Gauss, $P$ est irréductible dans $\Z[X]$. Même si au final dans les deux cas $P$ est irréductible dans $\Z[X]$ et dans $\Q[X]$ j'aimerais bien savoir qui je dois suivre : Raoul ou wikipédia.
  • topalg a écrit:
    j'aimerais bien savoir qui je dois suivre :Raoul ou wikipédia.

    Wikipedia of course B-)-

    J'ai dit une bêtise ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2244550,2244574#msg-2244574

    il faut lire :

    Si le translaté du polynôme satisfait le critère d'Eisenstein alors il (le translaté) est irréductible dans $\Q[X]$ donc le polynôme d'origine est également irréductible dans $\Q[X]$ car image de l'automorphisme inverse $P(X)\mapsto P(X-3)$.
  • Ah d'accord
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.