IR-algèbres de dimension 1, 2, 4 et 8

Bonjour,

Il n'y a rien d'important là-dedans, mais si certains avaient des critiques constructives, je suis preneur.

Désolé, mais ce texte est en anglais (basique) car je l'ai écrit au départ pour un groupe américain

Réponses

  • Merci pour ce partage, j'y ai trouvé des choses que je ne connaissais pas (les perplexes, c'est une dénomination personnelle ?).

    Je ne vois pas trop quoi ajouter de plus, si ce n'est du vocabulaire (sans doute inutile) comme tessarine.

    Aussi, pourquoi tu ne vas pas plus loin que les octonions ? J'ai ma petite idée sur ta réponse mais pas de certitude.

    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Bonjour,

    Juste pour comprendre,

    $A = vect\left(
    \begin{bmatrix}
    0 & 1 \\
    0 & 0 \\
    \end{bmatrix}
    \right)$

    n'est pas une algèbre de dimension 1 ?
  • Bonjour,

    Merci pour ce retour ; perplexes est une dénomination courante aux US et j'avoue que je la préfère aux autres ; quant à "tessarine", c'est un mode de construction mis au point par James Cockle et utilisé en traitement du signal.

    Quant à aller plus loin ...
    Dimension Nombre de paramètres
    1          0
    2          1
    4          4
    8          7
    


    J'ai peur qu'en dimension 16 il en faille "beaucoup", et surtout, il faut trouver ceux qui vont bien
  • Bonjour marsup,

    Je ne vois pas à quoi vous faites allusion ...
  • Les algèbres sont supposées unitaires ?

    On ne peut pas avoir $\forall x,y\in A, x \times y = 0$ ?

    Quelles sont les règles, exactement ?
  • Les algèbres considérées sont des IR-algèbres hypercomplexes donc unitaires, telles que e3=e1e2 (et similaires). une algèbre où tous les produit seraient nuls n'aurait pas beaucoup d'intérêt.

    Je précise que ce que je propose n'est pas un moyen d'obtenir toutes les IR-algèbres, mais un moyen d'en avoir beaucoup parmi les connues et avec une paramétrisation "qui a du sens".
  • Merci pour l'explication, il y a bien une explosion du nombre de paramètres.

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  • Je comprends pas très bien ce que tu fais... Il y a plus de tableaux que de commentaires...

    - Est-ce qu'on connaît le nombre de types d'isomorphismes d'algèbres comme celles que tu envisages (y en a-t-il seulement un nombre fini ?) ?
    - Quel est le but de ton document ?
    - Est-ce que tu prétends démontrer des choses nouvelles ? Est-ce que c'est un document didactique ?
    - Tu dis "beware", "beware", mais est-ce que tu prétends que toutes les algèbres de ta liste sont deux à deux non isomorphes ?
    - Si je peux me permettre d'être chafouin, dans tes algèbres de dimension quatre, tu commences par des "blablabla il existe $\alpha$, blablabla il existe $\gamma$" ($\alpha$ et $\gamma$ sont donc des variables liées) et ensuite tu as des $\alpha$ et $\gamma$ non quantifiés !
    - Qu'est-ce que c'est, la "démonstration" d'une case d'une table de multiplication ?
  • Est-ce qu'on connaît le nombre de types d'isomorphismes d'algèbres comme celles que tu envisages (y en a-t-il seulement un nombre fini ?) ?
    Comme indiqué page 3 : au plus 24
    - Quel est le but de ton document ?
    Proposer une paramétrisation ayant du sens et permettant de retrouver "suffisamment" d'algèbres bien connues.
    - Tu dis "beware", "beware", mais est-ce que tu prétends que toutes les algèbres de ta liste sont deux à deux non isomorphes ?
    Je le pense en tout cas
    - Si je peux me permettre d'être chafouin, dans tes algèbres de dimension quatre, tu commences par des "blablabla il existe $\alpha$, blablabla il existe $\gamma$" .... !
    C'est l'anglais qui vous pose problème, où c'est plus profond que cela ?
    - Qu'est-ce que c'est, la "démonstration" d'une case d'une table de multiplication ?
    Cela doit être plus profond finalement
  • Non mais "at a first glance" c'est pas une démonstration ; et puis je parlais du nombre de types d'isomorphismes d'algèbres hypercomplexes.

    Qu'est-ce que ça veut dire, une "paramétrisation qui a du sens" ?

    D'accord, tu crois que tes algèbres sont deux à deux non isomorphes. Moi, je n'ai pas d'avis.

    Pour les $\alpha$ et $\gamma$, je critique juste la manière d'écrire qui consiste à écrire $\exists \alpha$ puis, alors que la phrase est finie et hors de la portée du quantificateur, utiliser la même variable.

    En ce qui concerne la profondeur, c'est toi qui es trop profond pour moi.

    Je cherchais à donner des critiques constructives, n'hésite pas à me dire si celles que je te propose ne le sont pas !
  • je parlais du nombre de types d'isomorphismes d'algèbres hypercomplexes.
    Ce n'est pas le propos de ce document
    Qu'est-ce que ça veut dire, une "paramétrisation qui a du sens" ?
    Vous avez noté les guillemets, ici $\alpha$ est lié à l'alternativité ou anti-alternativité, et $\gamma$ à la commutativité ou anti-commutativité
    D'accord, tu crois que tes algèbres sont deux à deux non isomorphes.
    Je le crois, mais je peux me tromper, et comme se sont des algèbres que l'on trouve dans la littérature...
    Pour les $\alpha$ et $\gamma$, je critique juste la manière d'écrire qui consiste à écrire $\exists \alpha$ puis, alors que la phrase est finie et hors de la portée du quantificateur, utiliser la même variable.
    Justement, je n'ai pas écrit $\exists \alpha$, mais "il existe $\alpha$", et il est facile de voir que, quand il existe pour une algèbre donnée, alors il est unique
  • Concernant le $\alpha$ mentionné ci-dessus, j'avais aussi une remarque: "Il existe $\alpha$ tel que $e_n(e_ne_m)=\alpha(e_n^2)e_m$ (début de page 3): les algèbres considérées ne sont pas nécessairement associatives ?
    Après je bloque.
  • @zitoussi : effectivement, par exemple les quaternions hyperboliques .
  • Ah d'accord! Je pense que tu aurais pu donner la définition de ce que tu cherches en début de document. S'il n'y a pas de contrainte d'associativité, quelles sont les contraintes ? Aucune ?
    Après je bloque.
  • Les contraintes sont les conditions 1 à 5 de la page 3 (pour la dimension 4) et 1 à 9 de la page 6 (pour la dimension 8)
  • J'avais compris que c'était les propriétés supplémentaires que tu imposais à la famille de $\R$-algèbres que tu considères. Mais les axiomes de base de ce que tu appelles "$\R$-algèbre", il n'y en a pour ainsi dire pas. Ça a l'air sans espoir !
    Après je bloque.
  • J'avais mal compris la question : les axiomes de bases sont ceux de l'introduction en haut de la page 2
  • Bon ben d'accord, tu t'intéresses à certaines algèbres et pas à d'autres. Ok.

    Je trouve ton truc sur "il existe/$\exists$" un peu bizarre et ça ne m'intéresse plus d'en parler.

    Ton affaire sur l'alternativité/anti-alternativité, la commutativité/l'anticommutativité, elle n'aurait pas sa place dans le texte ?

    C'est quoi, une critique constructive, pour toi ?
  • Je trouve ton truc sur "il existe/$\exists$" un peu bizarre et ça ne m'intéresse plus d'en parler.

    Si on prend une algèbre hypercomplexe de dimension 4, pour certaines on aura e1e2 =e2e1 et elle m'intéresse ($\gamma=1$) pour d'autres on aura e1e2 = -e2e1 et elle m'intéresse (($\gamma=-1$) tous les autres cas ne m'intéressent pas ici (il n'existe pas de $\gamma$ répondant à la question)
    Ton affaire sur l'alternativité/anti-alternativité, la commutativité/l'anticommutativité, elle n'aurait pas sa place dans le texte ?
    Bonne idée
    C'est quoi, une critique constructive, pour toi ?
    Une critique qui me permette d'améliorer ce texte :
    1) dans la présentation
    2) dans les explications (comme ci-dessus)
    3) dans les extensions (autres paramètres, même chose pour les dimensions supérieures ...)
  • Bonsoir,

    Je n'ai apporté la modification suggérée par Georges Abitbol, j'hésite entre l'ajouter en anglais, ou tout traduire ...
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