Matrices anticommutantes

Bonjour,
voici un autre exercice vu dans un lien de etanche.

Exercice : Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\K)$ deux matrices telles que $AB=-BA$. Calculer $(A+B)^p$ pour tout $p\in\N^\ast$.

On remarque facilement que les matrices $A$ et $B^2$ commutent et que l'on a $(A+B)^2 = A^2 + B^2$. On en déduit que
\begin{align*}
(i)&~\text{Si}~p = 2 q~\text{est pair},\quad (A+B)^p = (A^2+B^2)^q = \sum_{k=0}^{q} \binom{q}{k} A^{2k} B^{p - 2k}.\\
(ii)&~\text{Si}~p = 2 q+1~\text{est impair},\quad (A+B)^p = (A+B)(A^2+B^2)^q = \sum_{k=0}^{q} \binom{q}{k} \left(A^{2k+1} B^{p-1 - 2k} + A^{2k}B^{p-2k}\right).

\end{align*} Finalement, ma question est : c'est tout ? (:P)
Je m'attendais à une formule sympathique et en fait (sauf si j'ai loupé des simplifications) : non...
Merci pour vos idées !

Réponses

  • Bonjour, il n'est pas difficile de montrer que $A$ et $B$'sont nilpotentes, la somme est jusqu'à la dimension $n$. La formule du binôme donnés pourrait être un peu détaillé pour voir en exemple.
    Pour la nilpotence si les deux matrices sont inversibles il suffit d'écrire $ABA^{-1}=-B$ impliquant que les valeurs propres de $B$ sont des zéros.
    Si non on approche $B$ en $C=B+\epsilon I$ inversible puis $AC=(-C+2\epsilon I)A$, $A=-CAC^{-1}+2\epsilon AC^{-1}$ impliquant aussi par continuité des valeurs propres que les valeurs propres de $A$ sont les zéros.

    Merci Maxtimax
  • Tonm : le cas inversible est faux, regarde $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$, qui est bien semblable à son opposé (via une matrice de permutation par exemple).
  • Peut-être qu’il n’est tout simplement pas possible de vraiment améliorer les formules ci-dessus : je m’attendais juste à des relations plus « jolies ».
  • MrJ : c'est très possible. Après tout, il y a une formule du même type pour les matrices qui commutent, donc l'exo avait peut-être seulement pour but de proposer une variation ?
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