Polynômes et racines entières

Bonjour,

j'ai essayé de résoudre par curiosité l'exercice suivant visible dans un lien donné par etanche dans une autre discussion.

Exercice : Déterminer tous les polynômes du troisième degré à coefficients rationnels dont toutes les racines ainsi que celles du polynôme dérivé sont des entiers relatifs.

Soit $P\in\Q[X]$ un tel polynôme unitaire. Quitte à effectuer une translation, on peut supposer que la plus petite racine est nulle. Il existe donc $(a,b,u,v)\in\N^4$ tel que $u\leq v$ et
\[P = X(X-u)(X-v) = X^3 - a X^2 + b X.\]
Le discriminant du polynôme $P'$ est
\[\Delta = 4 a^2 - 12 b = 4(a^2-3b) = 4 (u^2+v^2-uv) \in [u^2, v^2].\]
On en déduit que les racines de $P'$ sont
\[\dfrac{2a \pm \sqrt{\Delta}}{6} = \dfrac{u+v \pm \sqrt{u^2+v^2-uv}}{3}.\]

Ensuite, je suis bloqué. Je n'arrive pas à continuer.
Auriez-vous des idées pour continuer? Ou une autre piste?
Merci à tous!

Édit : Quelques essais sur Geogebra me laisse penser que $P$ a nécessairement une racine multiple, mais je n'ai pas réussi à le montrer pour le moment.

Réponses

  • Avec ta simplification: $x^3 - a x^2 + b x=x(x^2-ax+b)$ et le polynôme $x^2-ax+b$ doit avoir toutes ses racines entières aussi (Ce qui signifie, qu'en particulier , que ses racines entières doivent diviser exactement $b$)
  • Je ne suis pas sûr d'avoir compris ce que tu veux dire. On a en effet les deux relations
    \[ a = u + v \quad\text{et}\quad b =uv\]
    que j'ai utilisé dans mes calculs.

    Veux-tu m'indiquer que l'on a une relation plus forte que les deux ci-dessus?
  • Conjecture fausse: pour $p(x)=x^3-39x^2+360x$, $p$ a pour racine $0$, $15$ et $24$ et $P'$ a pour racines $19$ et $33$.
  • Merci Namiswan! J’avoue que je n’avais pas eu le courage de lancer Sage pour tester plus de valeurs.
    Du coup, je n’ai aucune idée de la condition à trouver pour le moment...
  • Dans ton exemple Namiswan, les racines de $P'$ sont plutôt $6$ et $20$ (ce qui m'a mis la puce à l'oreille est l'utilisation du théorème de Rolle pour bien localiser les racines de $P'$ à partir de celle de $P$).
  • Une observation.
    Si $p(x)=x^3 - a x^2 + b x$ et si toutes ses racines sont des entiers alors l'une est $0$ et les deux autres divisent exactement $b$.
    Or, $p^\prime(x)=3x^2-2ax+b$ donc si ses racines sont des entiers alors elles divisent exactement $b$ aussi.
  • Merci Fin de partie : je comprends mieux ce que tu voulais dire hier soir.

    En suivant la remarque de Fin de partie, on obtient une reformulation du problème peut-être plus simple : déterminer les éléments $(u,v,u',v')\in\N^4$ tels que $u'\leq u\leq v'\leq v$ et vérifiant
    \[\left\{\begin{array}{rcl} uv &=& 3u'v' \\ 2(u+v)&=& 3(u'+v').\end{array}\right.\]
    Sauf erreur de ma part, on en déduit directement quelques informations :
    $(i)$ les entiers $u$ et $v$ sont des multiples de $3$ ;
    $(ii)$ l'entier $u'$ ou l'entier $v'$ est un multiple de $3$.


    On doit pouvoir avoir beaucoup plus d'informations, mais il faut que je prenne le temps d'y réfléchir.
  • Bonjour, je crois qu'il n'y a pas beaucoup à dire. La démarche au début de Mrj serait ce qu'on attendais. Étant donné un polynôme $P$ disons unitaire (à facteur près) donner une condition nécessaire et suffisante pour que $P$ et $P'$ aient leurs racines des entiers.
    Alors on devra prendre les racines de $P$ comme variables entières $a,b,c$ puis $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=X^2$ (carré parfait) avec $a+b+c\pm X=0\pmod{3}$.
    (Il y a des solutions à ce système au moins voir l'exemple donné)
  • Bonjour, apparemment il a plus que je voyais voici un lien en tout cas https://math.stackexchange.com/questions/2402692/a2b2-aba2b2-2ab-is-a-perfect-square

    L'équation diophantienne en ait $u^2+v^2-uv=X^2$ (voir le premier message).
  • La réduction est la bonne! :p
    Mais la preuve est moche car fait appel à la connaissance de la résolution de certaines équations de Pell-Fermat :(

    On écrit alors avec ta réduction : $\displaystyle P(X)=X(X-u)(X-v)=X^3-(u+v)X^2+uvX$ où $u$ et $v$ sont deux entiers relatifs.

    En dérivant, on obtient : $\displaystyle P'(X)=3X^2-2(u+v)X+uv=3(X-\alpha)(X-\beta)$ où $\alpha,\beta$ sont des entiers relatifs. Il vient alors $\displaystyle 2(u+v)=3(\alpha+\beta) \mbox{ et } 3\alpha\beta=uv.$
    On tire de ces relations que $u$ et $v$ sont tous les deux multiples de $3.$

    On écrit alors $u=3k$ où $k\in \mathbb{Z}$ et $v=3(k+a)$ où $a\in \mathbb{Z}$ Ainsi, $\displaystyle P'(X)=3\Big(X^2-2(2k+a)X+3k(k+a)\Big).$ Le discrimant réduit de $P'$ est alors $\displaystyle \Delta'=(2k+a)^2-3k(k+a)=k^2+ka+a^2.$
    Comme les racines de $P'$ sont des entiers relatifs, nécessairement, $\Delta'$ est le carré d'un entier naturel.

    Ecrivons alors que le polynôme $X^2+kX+k^2=A^2$ admet une racine : $a$ (en notant $\Delta'=A^2$). Son discrimant $\displaystyle \delta=k^2-4(k^2-A^2)=4A^2-3k^2$ est alors le carré d'un certain entier : $B^2=(2a+k)^2\neq 0$ sauf si $k=0=a.$

    On exclut alors le cas $B\neq 0$ (qui correspond au cas où $P$ a une racine triple qui est $0$ à translation près).

    Ensuite, en posant $x=2A,y=k,$ on doit résoudre cette équation diophantienne : $\displaystyle x^2-3y^2=B^2.$

    $\textbf{(*)}$ : Or, on sait résoudre l'équation de Pell-Fermat (en $(p,q)\in \mathbb{Z}^{2}$) suivante : $\displaystyle p^2-3q^2=1.$

    On sait que les solutions sont ici de la forme : $\displaystyle p+\sqrt{3}q=\omega^{\ell}$ où $\ell\in \mathbb{Z}$ et $\omega=2+\sqrt{3}.$
    En notant, pour $\ell\in \mathbb{Z},$ $\displaystyle \omega^{\ell}=\alpha_{\ell}+\sqrt{3}\beta_{\ell}$ où $\alpha_{\ell},\beta_{\ell}\in \mathbb{Z},$ il vient en prescrivant la valeur de $B\neq 0,$
    $$2A=B\alpha_{\ell},\mbox{ }k=B\beta_{\ell} \mbox{ i.e. } k=B\beta_{\ell},a=\frac{B-k}{2}=B\frac{(1-\beta_{\ell})}{2}.$$

    On montre facilement par récurrence que $\beta_{\ell}$ est de la parité de $\ell$ et $\alpha_{\ell}$ de parité "opposée".

    Ainsi (il reste à faire une vérification facile), les racines de $P$ sont à translation près par un un entier relatif fixe (il suffit de traiter les cas $\ell$ pair et impair pour s'en rendre compte)
    $$Z(P)=\Big\{(0,0,0);\mbox{ }\Big(0,6B\beta_{2\ell},3B(1+\beta_{2\ell})\Big);\mbox{ }\Big(0,3B\beta_{2\ell+1},3B\frac{1+\beta_{2\ell+1}}{2}\Big);\mbox{ }(B,\ell)\in \mathbb{Z}^{*}\times \mathbb{Z}\Big\}.$$

    Edit : il manque des solutions, il me semble... il faut modifier légèrement le passage $\textbf{(*)}$.
  • J'avais en effet fait une erreur de calcul ($26\pm 7$ au lieu de $13 \pm 7$).

    Mon raisonnement: si on translate pour se ramener au cas où $P'(0)=0$, les racines $u$, $v$ et $w$ de $P$ vérifient $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}+\frac{1}{w}=0$. En résolvant j'obtiens que $u,v,w$ sont de la forme
    $u=kp(p+q)$
    $v=kq(p+q)$
    $w=-kpq$
    avec $p$ et $q$ premiers entre eux.

    De plus la deuxième racine de $P'$ est entière si et seulement si $3$ divise $u+v+w$, ce qui arrive soit si $3|k$ ou $p=q \mbox{mod} 3$

    Pour mon exemple j'ai pris $p=1$, $q=2$, $k=3$, ce qui donne $(u,v,w)=(9,18,-6)$ donc $P(X)=(X+6)(X-9)(X-18)$, ou après translation, $P(X)=X(X-15)(X-24)$.
  • Bonjour, si on veux directement raisonner à partir du polynôme $P$, je crois que l'approche de Namiswan est un peu indirect vu qu'il faut translater le polynôme dérivée (mais c'est une réponse bien vu).
    Sans translater et en gardant les notations de mon post précédent (désolé pour la répétition et la sous estimation au début) $a,b,c $ racines de $P$ résoudre $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=X^2$ (discriminant carré parfait)
    Ou encore $(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=2X^2$ soit encore $A^2+B^2+(A+B)^2=2X^2$, $A=a-b$, $B=b-c$.
    Résoudre $A^2+B^2+AB=X^2 $ enfin là un peu différemment de Bobby joe ce n'est pas les équations Pell-Fermat parce que je crois que ça ne couvre pas toutes les solutions en prenant une seul solution primitive $(B,0)$ (je l'ai lu sur la toile). En tout cas
    Ça revient à résoudre
    $(A+2B)^2+3A^2=(2X)^2$. Là l'équation $x^2+ny^2 =z^2$ est bien connu en paramétrage si je me rappelle bien.
    Enfin avec le paramétrage trouvé il faut vérifier $a+b+c\pm X=0\pmod{3}$.

    Je répète je n'ai pas translaté les racines qu'on peux faire simplement aussi.

    Cordialement
  • En fait à la base je n'avais pas translaté les racines, j'étais parti du classique $\frac{P'}{P}=\frac{1}{X-u}+\frac{1}{X-v}+\frac{1}{X-w}$, qui mène naturellement à des équations de la forme $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Puis je me suis dit plus tard que tant qu'à faire, c'était plus simple de translater :-)
  • Ok un dernier lien pour l'equation $x^2+ny^2=z^2$ où il est donné $n=2$. https://math.stackexchange.com/questions/367443/find-all-solutions-x2-2y2-z2
    Je pensais (?) que c'est connu ou résolu...
    Alors que les equations facile à paramètrer sont de la forme $py^n=(z-x)(z+x) $ avec $p$ premier ici $3$ et $pgcd(x,y,z)=1$ etc .....
    bon nuit

    La suite $(2X-A-2B)(2X+A+2B)=3A^2$ si $A=pq $, $p$ et $q$ premier entre eux et impaires on a à facteurs près les cas suivants

    1) $2X-A-2B=3p^2$ et $
    2X+A+2B=q^2$ (les deux facteurs sont premiers entre eux) avec $q\neq 0 \pmod{3}$. Puis $X=k\dfrac{3p^2+q^2}{4}$ et $B=k(\dfrac{q^2-3p^2}{4}-\dfrac{pq}{2})$, $A=kpq$
    2) $2X-A-2B=q^2$ et $
    2X+A+2B=3p^2$ (les deux facteurs sont premiers entre eux) avec $q\neq 0 \pmod{3}$. Et $X=k\dfrac{3p^2+q^2}{4}$, $B=k(\dfrac{3p^2-q^2}{4}-\dfrac{pq}{2})$, $A=kpq$.

    Si $A=2pq$ $p$ et $q$ premier entre eux on a les cas suivants

    3) $2X-A-2B=2q^2$ et $
    2X+A+2B=6p^2$ (les deux facteurs ont $2$ diviseur commun ) avec $q\neq 0 \pmod{3}$. Ou $X=k\dfrac{3p^2+q^2}{2}$, $B=k(\dfrac{3p^2-q^2}{2}-{pq})$ et $A=2kpq$.
    4) $2X-A-2B=6p^2$ et $
    2X+A+2B=2q^2$ (les deux facteurs ont $2$ diviseur commun ) avec $q\neq 0 \pmod{3}$. Donc $X=k\dfrac{3p^2+q^2}{2}$, $B=k(\dfrac{q^2-3p^2}{2}-pq)$ et $A=2kpq$.

    Dans les cas 3) 4) si $ k$ est choisi impaire $p$ et $q$ doivent être impaires.
    Enfin on doit vérifier pour chaque cas la relation $a+b+c\pm X=0 \pmod{3}$ ou encore avec $A=a-b$, $b-c=B$ que $A-B+3b\pm X=0\pmod{3}$.
  • Whaou! Vous avez fait un sacré travail! Je vais étudier toutes vos réponses. Merci!
  • tonm ;,il faut vérifier normalement après ,l'intersection avec les solutions de l'éq x²+ny²=z², car z est dans le cas demandé est pair ,puis je ne sais pas s'il fallait vérifier des égalités entre des rapports.
  • Bonjour, j'ai détaillé la suite, on peut vérifier (un peu long) mais le fait de changer la variable (translater) aurait dû être plus simple (comme Namiswan l'a fait ou même Bobby joe et Mrj).
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