Suites exactes

rouquin

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer pourquoi c'est vrai que la donnée d'une suite exacte $0\to A \to B\to C\to 0$ est équivalente à la donnée d'un élément de $Ext^1(C,A)$ ? Et pourquoi le morphisme de connexion dans la suite des Ext c'est la multiplcation par cet élément (la classe de l'extension) ? (surtout la deuxième question, en fait)

Explication : quand j'étudie une fibration, disons gentille, sur une base contractile (c'est l'aspect local qui m'interesse, là), j'ai une suite exacte de fibrés, et je voudrais que ça me donne une classe dans le Ext, la multiplication par cette classe devant être l'application de Kodaira-Spencer : la dérivée de la structure complexe de la fibre en quelque sorte (par exemple, si ma fibration c'est une submersion holomorphe propre). Voilà pour le background :-)

Donc voilà moi c'est pour des fibrés mais à priori c'est beaucoup plus général. Là je sais pas trop donc j'ai admis le résultat pour continuer mais j'aimerai bien avoir les idées au clair.

Merci de votre aide!

Damien

rouquin

Bon, je crois que je vois, mais si quelqu'un peut confirmer que c'est bien la voie à suivre :

En fait, j'ai l'impression qu'il faut le faire avec Cech : je me suis souvenu qu'un cohomologie des groupes on classifiait les extensions avec le $H^2$ ou le $H^1$ si l'extension est gentille, en fait l'idée consistait, dans le dernier cas, avec la suite $0\to A \to B\to C\to 0$, à relier deux relevement de C dans B avec une 1-cochaine.
Pour mes fibrés, ça devrait marcher : je peux relier deux relevements du fibré C dans B par une 1-cochaine de Cech de transition. Je dois encore montrer que c'est en fait un cocycle, et que deux cocycles égaux modulo un cobord donne des extension isomorphes. Faut écrire, dès que je me motive je le fais. Si c'est ça, reste à visualiser le passage en cohomolgie de de Rham : que donne le produit exterieur par la classe d'une extension ? rhâa... la suite de l'aventure dès que j'ai un peu de temps.

A bientot,

Damien

Lukkk Iléré

Ca se fait avec du Fourier. C'est un *exemple* et une *application* classiques.

rouquin

en exclu la bande-annonce de la leçon de mercredi:

HE HAD A NORMAL LIFE

"Hé, t'as fini la troisième saison des 24h chrono?"

A NORMAL JOB

"Bon, j'ai deux développements, le premier c'est 'Fibrations lagrangiennes sur les schémas ponctuels de Hilbert de surfaces K3 via la transformée de Fourier-Mukai' et le deuxième: 'classification des extension non triviales par des méthodes de cohomologie des groupes et d'analyse de Fourier', monsieur ? qu'est-ce que... aïe, pas la tête !noooooon!!!"

NOW, HE HAS NOTHING TO LOSE.

COMING SOON

ANALYSE 246 - FOURIER SERIES


lol... je vais me faire déchirer à cette leçon...

Bref. Un peu de sérieux, quoi :-)

Charli la malice

Lukk je ne suis pas tout à fait d'accord avec toi...
Il semblerait plutôt que ce soit un problème d'angle en dimension 3 ! (pas factorielle 3...)

Good Luck Damien, l'analyse de Fourier c'est du pneu :-(

rouquin

héhé grillé... tu vas pas au cours de Serre ?

Sinon, entre deux recherches google sur "séries de fourier" (extrait du méthodix : 'presque aucun candidat ne pense à faire le lien entre la cohomologie des groupes d'ordre p^2 et la formule de Parseval ! C'est pourtant la seule formule qui fait intervenir des carrés!') j'ai eu l'impression de voir plus clairement mon problème (ma tentative de tout à l'heure n'a pas vraiment marché sur le papier). Je mets mes idées pour ceux que ça interesse/ceux qui peuvent m'aider:

Si j'ai une variation de variété complexe, par exemple une submersion holomorphe propre $\pi : E\to B$ avec B de dimension 1, disons le disque unité(ouvert), de fibre $X_t \simeq X_0 = X$ (toutes les fibrés sont canoniquement difféomorphes car la base est contractile), alors j'ai une suite exacte de fibrés sur X : $0 \to \pi^*T_B \to T_E|_X \to T_X \to 0$ avec le premier fibré qui a l'air trivial de rang 1 (c'est ça qui change par rapport à tout à l'heure).

Alors cette extension est caractérisée par une classe dans $H^1(X,T_X)$. J'ai l'impression que c'est ça, et visuellement ça m'a l'air pas trop mal, même presque (osons!) intuitif. Quelqu'un pourrait me dire si c'est vrai ? Mauricio ? (je dis ça parce que j'ai l'impression que tu fais ou que tu as fait de la géométrie complexe)
Là je galère, sans références.

En attendant, je me replonge dans ma leçon d'agreg ;-)

A+

marco

Bonjour,
Je n'y connais pas grand chose en algebre homologique mais dans le livre &quotCommutative Algebra with a view toward algebaric geometry" de Eisenbud page 652 il y a un exercice intitulé &quotYoneda's description of Ext^1" ou il montre que l'ensemble des suites exactes modulo une relation d'equivalence est isomorphe a $Ext^1(A,B)$.

jeanjean0

C'est aussi ce qu'on dit dans "algèbre homologique pour les nuls" ?

rouquin

Ok, je vais voir ça. Faudrait que je me trouve une bonne grosse bible d'algèbre homologique, ça me manque...
Merci pour la référence en tous cas.
A+

jeanjean0

je plaisantais, a + aussi.

Mauricio4

Pour ta première question, tu appliques Hom(C,-) et tu obtiens un élément de Ext^1 en prenant l'image de l'identité dans

Hom(C,C) -> Ext^1

(cf par exemple Griffiths-Harris chapitre résidus et dualité)
Pour le reste je ne comprends rien. Le groupe de cohomologie que tu écris paramètre les déformations infinitésimales de la structure complexe de ta variété. (cf par exemple... l'article de Kodaira et Spencer, je ne connais pas d'autres références mais il doit y en avoir plein).
Mauricio