Projection, optimisation sous contraintes

Ratyl

Bonjour, voici mon exercice.
J'ai fait la question a mais j'ai du mal pour les questions b et c.
Si vous avez des pistes, merci !

Borelline

(b) La projection au sens de la norme $2$, je suppose ?
Sinon avec $X_0 = (1,1)$, $\|X_0-(1,0)\|_1 = \|X_0-(0,1)\|_1$.
Et dans le cas de la norme $2$, vous connaissez un théorème de projection sur .... qui est tout indiqué !

(c) Vous savez ce qu'il y a à optimiser et quelles sont les contraintes, il y a juste à les écrire en s'assurant d'avoir de la différentiabilité
Je vous le fais pour le problème d'optimisation : on cherche $X \in C$ tel que $\|X-X_0\|_2 = \min_{c \in C}\|X-c\|_2$.
On minimise donc : $f : y \in \R^2 \mapsto \|X-y\|_2$ sous la contrainte $y\in C$
Pour avoir de la différentiabilité, minimisons plutôt : $f : y \in \R^2 \mapsto \|X-y\|_2^2$ sous la contrainte $y\in C$

Thibault314

Bonjour!

ton ensemble $C$ est un convexe fermé non vide de $\mathbb{R}^2$. De plus $\mathbb{R}^2$ est un espace de Hilbert muni de la valeur absolue. Le théorème de projection sur un convexe fermé s'applique et assure l'existence de la projection et l'unicité!