Séries formelles et fractions rationnelles

Bonjour,
j'ai découvert, au hasard d'un cours d'informatique théorique, un résultat que je ne connaissais pas.

Proposition : Soit $\K$ un corps. Si deux séries formelles $\sum u_n X^n\in\KX$ et $\sum v_n X^n\in\KX$ sont des fractions rationnelles, alors la série formelle $\sum u_n v_n X^n$ est aussi une fraction rationnelle.

Ce résultat est équivalent à démontrer que le produit de deux suites récurrentes linéaires à coefficients constants est encore une suite récurrente linéaire à coefficients constants. En utilisant cette remarque classique, je sais démontrer le résultat dans la cas où $\K$ est algébriquement clos en utilisant l'expression explicite d'une suite récurrente linéaire.

Je peux utiliser des arguments d'extension de corps pour me ramener au cas précédent, mais je me demandais s'il n'existe pas une démonstration plus directe.
Le cas algébriquement clos permet au moins d'avoir une idée de l'équation caractéristique du produit des deux suites. Cette observation me fait penser qu'il est possible qu'il faille utiliser un résultant ou un produit tensoriel.
Merci d'avance pour toutes vos idées !

Réponses

  • Bonjour,

    Peut-être y a-t-il du résultant ou du produit tensoriel derrière ce que j'ai aperçu.
    Soient $P,Q \in \mathbb K[X] $ les polynômes (unitaires ) caractérisant les récurrences linéaires qui gouvernent les suites $(u_n)$ et $(v_n),$ et tels que: $ p = \text{deg}(P), \:q =\text{deg}(Q),\:\:P(0)\neq 0, \: Q(0) \neq 0.$
    Soient $A = \mathbb K[X,Y]/ \big(P(X), Q(Y) \big), \:\: x,y,\:$ les images de $X,Y$ par le morphisme canonique: $\:\mathbb K[X,Y]\to A.$
    $\forall r,s \in [\![0,p-1]\!]\times [\![0,q-1]\!], \quad xy(x^ry^s)= \displaystyle \sum _{\substack {0\leqslant i<p \\0 \leqslant j<q}} m_{ij}^{(r,s)} x^iy^j, \qquad m_{ij}^{(r,s)}\in \mathbb K.$
    Soit enfin $M \in \mathcal M_{pq} (\mathbb K)$ la matrice dont le coefficient ligne $(i,j)$ colonne $(r,s)$ est $m_{ij}^{(r,s)}.$
    Alors la suite $(u_nv_n)_n$ obéit à une récurrence linéaire dont le polynôme caractéristique est $\chi (M)$.
    En effet, pour $\displaystyle P =\prod_{i=1}^p (X-X_i), \:\: Q =\prod_{j=1}^q (X-Y_j) \:\in \mathbb K \Big(X_1,\dots X_p,Y_1,\dots Y_q\Big) [X],\quad \chi (M) = \prod_{i,j} (X-X_iY_j).$
  • Soit $V$ l'espace des suites de $\K$, muni de l'endomorphisme $D$ qui décale les suites.

    Une suite satisfait une relation de récurrence linéaire si et seulement si elle a un polynôme minimal ponctuel pour $D$, i.e. si et seulement si $\{Q\mid Q(D)(u) = 0\}$ est non nul. J'appellerais $\mu_u$ ce polynôme minimal ponctuel s'il existe (bon la notation consacrée c'est $\mu_{D,u}$, mais $D$ ne va pas bouger donc vous me le permettrez :-D )

    On a alors que l'application $1\mapsto u$ induit un isomorphisme de $\K[X]$-modules $\K[X]/(\mu_u) \cong $ l'espace cyclique engendré par $u$.

    Notons que $D: V\to V$ est aussi un morphisme de $\K$-algèbres, concrètement $D(uv) = D(u)D(v)$.

    Je regarde alors la chose suivante: $\K[X]/(\mu_u)\otimes_\K \K[Y]/(\mu_v) \to V\otimes_\K V \to V$, où la seconde flèche est la multiplication de $V$. Je prétends qu'il s'agit d'un morphisme de $\K[X]$-modules, mais encore faut-il que je vous dise quelle est la structure de $\K[X]$-module sur un produit tensoriel au-dessus de $\K$.

    Ben c'est très simple : $X\cdot (a\otimes b) := (Xa)\otimes (Xb)$ (avec des mots savants: $\K[X]$ est une algèbre de Hopf avec $X\mapsto X\otimes X$ - plus concrètement, si $W_0$ a l'endomorphisme $f_0$ et $W_1, f_1$, bah $W_0\otimes W_1$ a l'endomorphisme $f_0\otimes f_1$)

    Avec ça, on vérifie que le fait que $D$ soit un morphisme d'algèbres implique que $V\otimes_\K V\to V$ est un morphisme de $\K[X]$-modules.

    Donc notre composition est un morphisme de $\K[X]$-modules et elle envoie $1$ sur $uv$. Il suffit donc de montrer que $1\in \K[X]/(\mu_u)\otimes_\K \K[Y]/(\mu_v)$ a un polynôme minimal, i.e. est de torsion. Bah c'est évident: les deux sont de dimension finie sur $\K$, donc le produit tensoriel aussi, donc on est de torsion sur $\K[X]$.

    Bon, ça ne nous dit pas qui annule ce produit tensoriel. Pour ça, regarder la réponse de LOU16 (que je salue au passage), qui est une version plus explicite de ce que j'ai écrit. Mais si on cherche juste à savoir que ça existe, on a la réponse sans se casser la tête (sachant que en explicitant l'argument "dimension finie", on tombera aussi facilement sur le polynôme minimal).

    (Attention, cette réponse n'est pas originale, c'est une reformulation de celle de LOU16. Je l'écris pour 2 raisons: 1- ça explique pourquoi la réponse de LOU16 marche; 2- ça explique comment tomber dessus, sans inspiration)
  • Merci beaucoup pour vos contributions!

    @LOU16 : Je ne vois pas d’où sort la dernière ligne par rapport au reste de ton raisonnement (même si je sais qu’elle est vrai).

    @Maxtimax : Ne peut-on pas obtenir le polynôme donné par LOU16 via ton raisonnement en utilisant la formule donnant le polynôme caractéristique du produit tensoriel de deux matrices carrées?
  • Bonsoir Mrj

    La construction de $M \in \mathcal M _{pq}\Big( \mathbb K(X_1\dots X_p,Y_1\dots Y_q) \Big)$ fait que: $U_{ij}(M-X_iY_j\mathcal I_{pq}) = 0$ où $U_{ij}$ est le vecteur-ligne dont la colonne $(r,s)$ est égale à $X_i^rY_j^s$
    Ainsi, les $X_iY_j$ forment un ensemble de $pq$ valeurs propres distinctes de $M$, ce qui permet d'obtenir l'expression de $\chi(M).$
  • MrJ : si tu connais cette formule, alors oui :-D
  • Merci pour vos réponses!

    @LOU16 : D'accord, j'ai compris d'où sort la formule.
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