Approximation d'une espérance

Bonjour
J'ai deux fonctions $f$ et $g$ de $L^2(\R,\R)$, et $(\Omega,A,P)$ un espace probabilisé.
Je me demande s'il est possible d'obtenir une majoration du type $|E(f(X))-E(g(X))| \leq M ||f-g||_2$, où $M$ est une constante indépendante de la variable aléatoire réelle $X$.

Réponses

  • Pas beaucoup de sens si $X$ n'est pas de loi absolument continue, puisque $f$ et $g$ ne sont definies que presque partout. Si la densite $h$ de $X$ est de carre integrable, alors $M=\|h\|_2$ par Cauchy Schwarz, avec l'interessante possibilite d'utiliser Plancherel. Mais $M$ depend de $h$ et n'est pas universel.
  • Merci @P.
    Je pose cette question parce que je cherche à généraliser le résultat de ce sujet (loi du demi-cercle) : https://www.concours-centrale-supelec.fr/CentraleSupelec/2021/MP/sujets/M042.pdf aux fonctions $L^2$, et pas que continues. La preuve du problème utilise la continuité (théorème d'approximation de Weierstrass).
    J'ai envie d'utiliser la densité des fonctions continues à support compact pour la généralisation, mais j'ai besoin d'uniformité par rapport à $n$.

    [Activation du lien. AD]
  • Tu devrais commencer par le cas $n=2$ et $f(t)=\mathbb{1}_{t\geq 0}.$ J'ai fait les calculs de mon côté et je trouve
    $\mathbb{E}\left(\frac{1}{2}f(\Lambda_{1,1})+\frac{1}{2}f(\Lambda_{1,1})\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}P\left(W^2\leq UV\right),$ où $U,$ $V,$ $W$ sont indépendantes et suivent la loi uniforme sur $\left[0;1\right]~;$ tandis que $\frac{1}{2\pi}\int_{-2}^{2}f(x)\sqrt{4-x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}.$
    L'égalité serait donc fausse dans ce cas.
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