Variables aléatoires décomposables

bestM

Bonjour,
on me demande de démontrer que si $n$ est un entier naturel premier supérieur ou égal à $3$ et si $Z$ est une variable uniforme sur $0,n-1$ alors $Z$ n'est pas décomposable (ie il n'existe pas $X$ et $Y$ var indépendantes telle que $Z$ et $X+Y$ ont même loi).

Je propose cette démonstration. est-elle valide ?
Par l'absurde, si $Z$ est décomposable alors il existe deux variables aléatoires $X$ et $Y$ telles que :
$$\forall t\in \R,\qquad G_Z(t) =G_X(t)G_Y(t) = \dfrac1n (1+t+\cdots+t^{n-1}).

$$ Les racines de $G_Z$ sont les racines $n$-ième de l'unité autre que 1. Les racines de $G_X$ et $G_Y$ sont parmi les racines $n$-ième de l'unité et sont simples.
Si $\omega$ est racines de $G_X$ (ou $G_Y$), il en est de même de $\overline{\omega}$ donc le degré de $G_X$ (et de $G_Y$) est pair ce qui donne $n$ pair et contredit $n$ premier (car $n\ge 3$).

Merci pour vos réponses.
bestM.

Poirot

Tu es en train de dire qu'un polynôme de degré $n-1$, pair donc, ne peut s'écrire comme produit de deux polynômes de degrés pairs ? Pour commencer, tu devrais justifier pourquoi $G_X$ et $G_Y$ sont des polynômes.

P.

Hum, ton argument vaudrait pour $n$ impair, plus general que $n$ premier...pourtant $3X+Y$ est uniforme sur $ \{0,\ldots,14\}$ quand $X$ et $Y$ sont independants et uniformes sur $\{0,1,2,3,4\} $ et $\{0,1,2\}.$

bestM

G_X et G_Y sont ls fonctions génératrices de X et Y donc des polynômes.

J'ai vu l'erreur : n-1 est pair .

Merci

bestM

Poirot

La fonction génératrice d'une variable aléatoire n'est pas nécessairement un polynôme...

bestM

Poirot, j'ai omis des hypothèses dans la définition.
On dit que $\mathrm{Z}$ est décomposable s'il existe deux variables aléatoires indépendantes $\mathrm X$ et $\mathrm Y$ non nulles à valeurs dans $\mathbf{N}$ non presque sûrement constante, telles que $\mathrm{X}+\mathrm{Y}$ ait la même loi que $\mathrm{Z}$.

Poirot

Ça ne change pas le fait que la fonction génératrice d'une telle variable aléatoire n'est pas toujours un polynôme.

bestM

Oui, mais ici Z suit une loi uniforme sur 0,n-1

Poirot

Je te parle des fonctions génératrices de $X$ et de $Y$. Qu'est-ce qui te permet d'affirmer que ce sont des polynômes ?

P.

Oh, Poirot, pas la peine d'aller chercher Titchmarsh-Lyons. Si $X$ et $Y$ sont independantes a valeurs dans $\mathbb{Z}$ et si on appelle support de $X$ l'ensemble $S_X=\{x\mid \Pr(X=x)\}$ il est clair que $$S_{X+Y}=S_X+S_Y.$$

Poirot

Je n'ai jamais dit qu'il fallait sortir la grosse artillerie, j'attendais de bestM qu'il donne l'argument que tu lui sers gentiment sur un plateau.