Régularité solutions du laplacien
Bonjour à tous
J'aimerais résoudre l'équation définie sur $\Omega$ un ouvert borné régulier
\begin{align*}
-\Delta u &= f \qquad &&\text{sur } \Omega,\\
u &= 0 \qquad &&\text{sur } \partial \Omega.
\end{align*} Pour ce faire je me place sur l'espace de Sobolev $H^1_0(\Omega)$, je fais la procédure habituelle, et je montre qu'il existe une unique fonction $u\in H^1_0(\Omega)$ solution faible de mon équation, c'est-à-dire telle que
$$ \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v = \int_\Omega f v \qquad \forall v \in H^1_0(\Omega).
$$ Ensuite le but est de montrer que $u\in H^2(\Omega)$, et mon prof ainsi que Brezis (même si ce dernier traite l'équation $-\Delta u + u = f$) en font des tonnes, à base de différentielle discrète.
Mais je me demande pourquoi on ne peut pas simplement dire, par définition de l'espace de Sobolev, que $\nabla u \in H^1_0(\Omega)$ avec $\nabla (\nabla u) = -f$. C'est-à-dire que $u\in H^2(\Omega)$ !
J'aimerais résoudre l'équation définie sur $\Omega$ un ouvert borné régulier
\begin{align*}
-\Delta u &= f \qquad &&\text{sur } \Omega,\\
u &= 0 \qquad &&\text{sur } \partial \Omega.
\end{align*} Pour ce faire je me place sur l'espace de Sobolev $H^1_0(\Omega)$, je fais la procédure habituelle, et je montre qu'il existe une unique fonction $u\in H^1_0(\Omega)$ solution faible de mon équation, c'est-à-dire telle que
$$ \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v = \int_\Omega f v \qquad \forall v \in H^1_0(\Omega).
$$ Ensuite le but est de montrer que $u\in H^2(\Omega)$, et mon prof ainsi que Brezis (même si ce dernier traite l'équation $-\Delta u + u = f$) en font des tonnes, à base de différentielle discrète.
Mais je me demande pourquoi on ne peut pas simplement dire, par définition de l'espace de Sobolev, que $\nabla u \in H^1_0(\Omega)$ avec $\nabla (\nabla u) = -f$. C'est-à-dire que $u\in H^2(\Omega)$ !
Réponses
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Bonjour
D'abord si $\Omega$ n'est pas régulière $u$ peut très bien ne pas être $H^2(\Omega).$ Alors dire simplement "on a... " sans utiliser la régularité de $\Omega$ ça me laisse perplexe comme raisonnement. -
C'est bien pourquoi je ne comprends pas où est mon erreur.
C'est sans doute très bête, mais je me dit que :
je sais que $\exists u\in H^1$ tel que
$$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v = \int_\Omega f v ,\qquad \forall v \in H^1_0.
$$ Donc $\exists u\in H^1$ tel que
$$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v = \int_\Omega f v, \qquad \forall v \in C^\infty_c.
$$ Donc par définition de $H^1$, $\nabla u \in H^1$ et $\nabla (\nabla u) = -f$.
Donc par définition de $H^2$, $u \in H^2$. -
Bonjour,
$\nabla u\in H^1(\Omega,\Bbb R^n)$ signifie que toutes ses coordonnées sont dans $H^1(\Omega,\Bbb R)$, c'est-à-dire : $\forall i\in[\![1,n]\!],$ $\exists \nabla (\partial_i u) =$ $(\partial_1\partial_i u,\dots,\partial_n\partial_i u)$ $\in L^2(\Omega,\Bbb R^n), $ $\forall \varphi\in{\cal D}(\Omega),$ $$\int_\Omega \partial_i u\cdot \nabla \varphi = -\int_\Omega \nabla (\partial_i u)\cdot \varphi \qquad\text{ i.e. }\qquad \forall j\in[\![1,n]\!], \int_\Omega \partial_i u \cdot \partial _j\varphi = -\int_\Omega \partial_j\partial_i u \cdot \varphi .$$
Et ce n'est pas pareil que : $\forall \varphi\in{\cal D}(\Omega),$ $$\int_\Omega \nabla u\cdot \nabla \varphi = \int_\Omega f \varphi.$$ -
Oulah oui j'avais complètement raté ça...
Je comprends du coup, et c'est pour ça que l'argument ne marche qu'en dim 1.
Merci !
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