Matrices semblables (exercice)

zestiria

Je fais cet exercice.

zestiria

Partie 1

1) $A=0$

2a)
$\exists P, A =P^{-1} \lambda A P$
Soit $X$ un vecteur propre associé à la valeur propre $\alpha$
$AX= \alpha X \implies\dfrac{\alpha}{\lambda} PX = APX$

2b) On a $\forall n, \alpha \lambda^n$ est valeur propre de $A$, mais $A$ a au plus $n$ valeurs propres distinctes, donc $\{\alpha \lambda^{-j} , j \leq 0 \}$ est de cardinal au plus $n$,
donc $\exists k , \alpha \lambda^{n-k}= \alpha \lambda^k$

2c)

3a)

3b)


Partie 2

4) $G^{\perp}$ est non vide car $0 \in G^{\perp}$ et est stable par combinaison linéaire , grâce à la linéarité de $\phi$ en le deuxième argument.

5 a)

5b)

6a)

6 b)

Partie 3

7)

8)

9)


10a)

10b)

$
\begin{align*}
e^{t I_n}&= \sum_{k=0} ^{\infty} \dfrac{I^k t^k}{k!} \\
&= \sum_{k=0} ^{\infty} \dfrac{I t^k}{k!} \\
&= I_n \sum_{k=0} ^{\infty} \dfrac{I t^k}{k!} \\
&= I_n e^t \\
\end{align*}
$
On reconnaît le développement en série entière de la focntion complexe $ z \mapsto e^z$

10c) $\exists P \in \mathbb{GL}_n,$ et $ D$ diagonale tels que $\Delta =P^{-1} D P $ et $ e^{\Delta}= P^{-1} e^{D} P$

10d)

10d)

11a)

11b)

nicolas.patrois

2)a) À gauche, tu as un scalaire, à droite des matrices.
Et qui est P (à part un illustre membre du phorum) ?

zestiria

Merci, j'ai rectifié. Pour le 2b), ce que j'ai écrit est bancal. Comment est-ce qu'il faudrait s'y prendre ?

nicolas.patrois

C’est mieux mais explique qui est X et essaie de rédiger en français (à moins que le but ne soit que d’exprimer les idées).

10)b) Explique, utilise la définition de l’exponentielle.
10)c) Idem.

gai requin

2)b) Il existe des entiers $i,j$ tels que $0\leq i<j\leq n$ et $\dfrac\alpha{\lambda^i}=\dfrac\alpha{\lambda^j}$.
Soit alors $k=n-(j-i)$...

marsup

L´énoncé a oublié de poser la question évidente ci-dessous, il me semble
(Si $\text{tr}(A) \neq 0$, alors $A$ n´est pas semblable à $\lambda \cdot A$, pour $\lambda \neq 1$)