Lien topologie étale et anneaux Henséliens
Bonjour,
je lis en ce moment des chose autour de la topologie/cohomologie étale pour des schémas, et dans ce que je lis il y a une partie sur les anneaux locaux henséliens.
J'aimerais savoir pourquoi parle t-on d'anneau henséliens lorsque l'on parle de topologie étale/cohomologie étale.
J'ai vu un peu plus loin que si $S=Spec(R)$ avec $R$ un anneau local strictement hensélien, alors pour tout faisceau sur le petit site étale de S, ses groupes de cohomologie s'annulent.
Est-ce pour ça ?
Est-ce aussi car si $R$ est hensélien on a une équivalence de catégories entre les $R$-algèbres étales et les $\kappa$-algèbres étales (où $\kappa$ est le corps résiduel de $R$) ?
Je pense que c'est également en rapport avec la structure local des morphismes étales mais j'aimerais avoir plus dé précisions.
Merci d'avance !
je lis en ce moment des chose autour de la topologie/cohomologie étale pour des schémas, et dans ce que je lis il y a une partie sur les anneaux locaux henséliens.
J'aimerais savoir pourquoi parle t-on d'anneau henséliens lorsque l'on parle de topologie étale/cohomologie étale.
J'ai vu un peu plus loin que si $S=Spec(R)$ avec $R$ un anneau local strictement hensélien, alors pour tout faisceau sur le petit site étale de S, ses groupes de cohomologie s'annulent.
Est-ce pour ça ?
Est-ce aussi car si $R$ est hensélien on a une équivalence de catégories entre les $R$-algèbres étales et les $\kappa$-algèbres étales (où $\kappa$ est le corps résiduel de $R$) ?
Je pense que c'est également en rapport avec la structure local des morphismes étales mais j'aimerais avoir plus dé précisions.
Merci d'avance !
Réponses
-
Bonjour,
Soit $x$ un point du schema $X$ et $F$ un faisceau sur $X$. Il est normal de regarder la fibre de $F$ en $x$: c'est la limite inductive $\varinjlim_{U \in \mathcal{V}_x} F(U)$ sur les voisinages de $X$. Le foncteur $F\mapsto F_x$ est exact et on peut verifier qu'un faisceau est nul ssi toutes ses fibres sont nulles.
Lorsqu'on considere la topologie de Zariski et $F = O_X$, alors $F_x = O_{X,x}$ est l'anneau local en $x$: Si $X = Spec(A)$, $x = \mathfrak{p}$ c'est $A_{\mathfrak{p}}$.
Si on fait la meme chose avec la topologie etale, on trouve que la fibre du faisceau structural va etre le henselise $O_{X,x}^h$ de $O_{X,x}$. -
Bonjour,
La fibre du faisceau structural en un point du topos étale est plutôt le hensélisé strict de l'anneau local, son corps résiduel est la clôture séparable du corps résiduel de l'anneau local.
La topologie étale est ce qu'il faut pour avoir un théorème des fonctions implicites en géométrie algébrique. Si tu regardes les propriétés des anneaux locaux henséliens, tu y trouves justement une version algébrique du théorème des fonctions implicites : si un polynôme à coefficients dans l'anneau local a une racine simple dans le corps résiduel, alors cette racine se relève en une racine dans l'anneau local. -
Bonjour,
merci pour vos réponses!GaBuZoMeu a écrit:La topologie étale est ce qu'il faut pour avoir un théorème des fonctions implicites en géométrie algébrique.
Est-ce que cela signifie qu'un morphisme étale est un homéomorphisme local pour la topologie étale ?GaBuZoMeu a écrit:Si tu regardes les propriétés des anneaux locaux henséliens, tu y trouves justement une version algébrique du théorème des fonctions implicites : si un polynôme à coefficients dans l'anneau local a une racine simple dans le corps résiduel, alors cette racine se relève en une racine dans l'anneau local.
Je t'avoue que je n'arrive pas à voir directement le lien avec le théorème des fonctions implicites. Peux-tu m'expliquer ? -
Première question : dans un certain sens, oui, mais c'est localement pour la topologie étale, bien sûr (on n'est pas avec ces espaces topologiques). Pour la version étale-réelle, où l'on récupère des espaces topologiques, un morphisme étale donne bien un homéomorphisme local.
Pour le deuxième point : pense à la situation analogue avec une équation polynomiale à coefficients dans l'anneau des germes de fonctions différentiables au point $O$ qui a une racine simple dans le corps résiduel en $O$. -
Salut GBZM
Est-ce que le petit exemple que je présente ensuite illustre ce que tu veux dire ? Bon l'exemple est un peu petit.
Je prend $k :=\Z[1/2]$ comme anneau de base et je note $B$ son spectre. Soit $X := \text{Spec}(k[ i])$. Le morphisme structurel $ \pi : X \to B$ est étale. Je veux essayé de comprendre l'aspect " localement isomorphisme ".
Donc on fait un changement de base étale de $\pi$ par lui même (ici y'a pas besoin de faire plus).
$$
\xymatrix{
X \times_B X \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\
X \ar[r] & B
}
$$ Et maintenant, on regarde le morphisme de gauche : $\phi : X \times X \to X$ qui d'un point de vu algébrique est codé par la $k[ i]$-algèbre $k[ i][X]/ \langle X^2+1 \rangle$. Mais vu que l'on a la décomposition $X^2+1 = (X-i)(X+i)$ et la relation :
$$
\frac{i}{2} \left( (X-i) - (X+i) \right) = 1 .
$$ On obtient que $X \times_B X \simeq X \coprod X$. En restreignant $\phi$ au premier $X$ dans la décomposition $X \coprod X$, on a un isomorphisme et pareil selon le second $X$.
Donc j'ai regardé étale localement sur la base et Zariski localement en haut. Ici c'est petit et le changement de base étale qui trivialise la chose est le morphisme lui même, en général je pense qu'il faut prendre un truc du genre $X \times_B X \dots \times_B X$ (pas certain pour le coup). -
Je ne voulais pas trop entrer dans les détails. Mais pour compléter sur la différence entre henselisé et henselisé strict, je crois me rappeler que les points du topos étale sont les points géométriques et c'est pour ça que la fibre en un tel point va être le henselisé strict.
Si on prend juste la limite sur les morphismes étales $(U,\tilde{x}) \to (X,x)$ avec $k(\tilde{x}) = k(x)$ on obtient exactement le henselisé. C'est comme ça qu'on a $O_{X,x} \to O_{X,x}^h \to O_{X,x}^{hs}$ correspondant aux topologies de Zariski, Nisnevich et étale. -
@flipflop
Merci pour ton exemple. Je pensais plutôt à un truc plus vague, du genre suivant : le topos des faisceaux sur un espace topologique $X$ est la catégorie des espaces étalés sur $X$, c.-à-d. des homéomorphismes locaux $Y\to X$. Donc un homéomorphisme local d'espace topologiques se traduit au niveau des topos par le morphisme $\mathcal E/Y \to \mathcal E$, où $Y$ est un objet de $\mathcal E$. C'est la situation qu'on retrouve dans le cas où $\mathcal E$ est le topos étale de $\mathrm{spec}(A)$ et $Y$ le faisceau pour la topologie étale représenté par $\mathrm{spec}(B)$ où $A\to B$ est étale. Le topos étale de $\mathrm{spec}(B)$ est un "slice topos" du topos étale de $\mathrm{spec}(A)$, autrement dit le morphisme géométrique $\mathrm{spec}(B)^{\mathrm{ét}}\to \mathrm{spec}(A)^{\mathrm{ét}}$ est un morphisme géométrique étale.
Tu peux voir :
https://ncatlab.org/nlab/show/over-topos -
Salut GBZM,
Merci, je n'ai pas encore réfléchi a ton message. Mais une question naïve (?) m'est venue ce matin.
Disons que je regarde le gros topos de Zariski de $\text{Spec}(\Z)$, donc la catégorie des foncteurs covariants $\text{Ring} \to \text{Ens}$ avec les conditions de recollement (que j'explicite pas). J'ai lu (sans trop comprendre) que ça classifie les anneaux locaux. Est-ce que ceci à un lien avec le fait que l'anneau générique i.e $\mathbf{A}^1 : \text{Ring} \to \text{Ring}$ (le foncteur identité) est un " anneau local " au sens où pour tout anneau $R$ et tout $r \in R$, il existe une famille couvrante ($(r,1-r)$) de $R$ tel que $r$ est inversible dans $R[r^{-1}]$ et $1-r$ inversible dans $R[(1-r)^{-1}]$. (ahah).
Du coup, ma question : est-ce que si je prend le gros topos étale de $\text{Spec}(\Z)$, la topologie force $\mathbf{A}^1$ a être un " anneau hensélien strict " ?
Déjà, je pense que le " corps résiduel " de $\mathbf{A}^1$ c'est $R \mapsto R / \text{Nil}(R)$ donc le quotient par les nilpotents. Pourquoi les nilpotents ? Juste par ce que le " complémentaire " (la négation) des inversibles c'est les nilpotents. -
Pour moi, le topos classifiant les anneaux locaux est en fait le topos des faisceaux sur le site $\mathrm{Annpf}^{\mathbf{op}}$ muni de la topologie de Zariski.
$\mathrm{Annpf}$ est la (petite) catégorie des anneaux de présentation finie, et la topologie de Zariski est engendrée par le recouvrement vide pour l'anneau trivial et le recouvrement $\Z[X]\to \Z[X,X^{-1}],\;\Z[X]\to\Z[X,(1-X)^{-1}]$.
Le préfaisceau $R\mapsto R$ (ton $\mathbf A^1$) est un faisceau pour cette topologie, et c'est l'anneau local générique : tout anneau local s'obtient à partir de celui-ci par image réciproque de morphisme géométrique.
On peut aussi mettre la topologie étale sur $\mathrm{Annpf}^{\mathbf{op}}$, Alors $\mathbf A^1$ est toujours un faisceau sur ce site et c'est l'anneau local strictement hensélien générique.
Parler d'idéal maximal ou de corps résiduel pour l'anneau local générique ou l'anneau local strictement hensélien générique ne fait à mon avis pas grand sens, pas plus que pour un espace annelé en anneaux locaux. -
Merci, je vais réfléchir un peu. Je voulais parler du corps résiduel de $\mathbf{A}^1$ pour pouvoir interpréter la définition d'anneau strict hensélien.
Mais deux petits exemples d'anneaux pour la route.
Donc je garde le site $(\mathcal{S},\tau)$ de anneau de présentation fini munie de la topologie de Zariski.
1. On va noter $ \mathbf{B} := \left( R\mapsto R[\varepsilon] \right)$ avec $\varepsilon^2=0$, c'est bien un faisceau d'anneaux.
Là j'ai envie de dire que $\mathbf{B}$ est un anneau local.
Soit $R$ un anneau et $z := a+\varepsilon b \in R[\varepsilon]$. Alors $z$ est inversible sur $R[a^{-1}][\varepsilon]$ et $z-1$ est inversible sur $R[(1-a)^{-1}][\varepsilon]$.
Le petit lemme c'est que $z$ est inversible dans $R[\varepsilon]$ si et seulement si $a$ est inversible dans $R$.
2. Maintenant, $ \mathbf{C} := \left( R\mapsto R[ i] \right)$ avec $i^2=-1$. Là je pense que ce n'est pas un anneau local.
3. Je retourne sur l'exemple 1. Si j'ai compris l'histoire "d'anneau local générique" je dois trouver un morphisme géométrique $ \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ avec $\mathcal{E}$ le topos des faisceaux sur le site $(\mathcal{S},\tau)$ tel que $\mathbf{B}$ est l'image réciproque de $\mathbf{A}^1$.
Donc je dois trouver des foncteurs adjoints $ f^\star : \mathcal{E}_a \to \mathcal{E}_d$ et $f_\star :\mathcal{E}_d \to \mathcal{E}_a$. (j'ai mis des indices $a$ et $d$ pour départ et arrivé histoire de pas se perdre).
Pour $f^\star$ et bien je pense que le seul candidat est : $\mathfrak{X}\to \left( R\to \mathfrak{X}(R[\varepsilon]) \right)$ (si $\mathfrak{X}$ est un faisceau, on obtient bien un faisceau) par contre pour $f_\star$ je n'ai pas d'idée mais il doit se passer quelque chose puisque les constructions $1$ et $2$ se resemble fortement ! Je dois analyser un peu plus la situation mais si tu as une idée pour $f_\star$ (modulo le fait que j'ai bien compris cette histoire de générique).
Pardon Zariski on s'éloigne par ma faute de étale / Hensélien. -
Logique, si $A$ est local alors $A[\epsilon]$ l'est, mais pas forcément $A[ i]$.
Pour le reste, j'y réfléchirai plus tard.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 164.7K Toutes les catégories
- 43 Collège/Lycée
- 22.1K Algèbre
- 37.4K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 57 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 19 CultureMath
- 49 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.6K Géométrie
- 80 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 73 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 331 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 791 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres