Sous-variété

Ratyl

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omega

Attention l'intersection de deux sous-variétés n'est pas toujours une sous-variété (et quand elle l'est le calcul de sa dimension n'est pas nécessairement évident).

Ta première idée

Ratyl a écrit:

Pour montrer que S est une sous-variété je me suis dis qu'il fallait montrer que cet ensemble S est égal aux zéros d'une submersion :
C'est à dire S = F-1({0}) ou f est une fonction de R^3 dans R^(3-dimS).

est la bonne.

Je te conseille plutôt la submersion
\[
\begin{array}[t]{cccl}
f :& \R^3 & \longrightarrow & \R^2 \\
& (x,y,z) & \longmapsto & (2(x+1)y + (x-1/2)z\,,\, xy+2x - z)
\end{array}


\] Pour l'espace tangent, tu es sûr que tu ne sais rien d'autre ? Par exemple que c'est un espace vectoriel et quelle est sa dimension ? Et accessoirement comment on peut le trouver quand on a une submersion ?

Ratyl

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marsup

Bonjour, je n'ai pas vérifié tes calculs, mais s'ils sont justes, tu sais que le lieu singulier de ton système de deux équations est la réunion de deux droites.

Il reste à s'assurer que ces deux droites n'intersectent pas l'ensemble solution. Génériquement, c'est le cas, car ton ensemble solution est de dimension 1, codim = 2, et ton lieu singulier aussi, donc ils doivent s'intersecter en dimension -1, codim=4. (3 inconnues, 4 équations)

Ratyl

Salut je n’ai pas du tout compris ce que tu veux dire ...?

Ratyl

Up

Philippe Malot

Bonjour,
Ceci peut être utile : https://en.wikipedia.org/wiki/Preimage_theorem

Ratyl

J'ai réussi à montrer que S était une sous-variété mais j'ai besoin d'aide pour sa dimension ?

Je sais que le théorème du rang me dit que rg f + dim ker f = dim R^3
Donc Dim ker f = 3-2=1 donc dim S = 1 ?